Матрицы 1 Квадратная матрица

Матрицы 1

Квадратная матрица 2

Треугольная матрица 3

Диагональная матрица 4

Транспонирование матриц 5

Умножение матриц Матрицу А можно умножить на матрицу В, то есть найти матрицу С=А*В, если существует скалярное произведение строки матрицы А на столбец матрицы В, т. е. если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. 6

Умножение матриц 7

Для алгебраических действий над матрицами справедливы законы: • А+В=В+А; • (А+В)= А+ В; • (А+В)+С=А+(В+С); • (А*В)*С=А*(В*С); • А*(В+С)=А*В+А*С. • !!! В общем случае умножение матриц не коммутативно. Т. е. А*В≠В*А. Если А*В=В*А, то матрицы A и B называются перестановочными (коммутирующими) • А*Е=Е*А=Е 8

Определители матрицы второго порядка Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число 9

Определители матрицы третьего порядка Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число 10

11

Вычисление определителя разложением по элементам строки (столбца) Минором Мij элемента аij определителя |A| называется определитель, полученный из определителя |A| вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. 12

Алгебраическим дополнением Aij элемента аij определителя |A| называется минор Мij этого элемента со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент. Aij=(-1)i+j * Мij A 22=(-1)4 * 13

Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки на соответствующие алгебраические дополнения. 14

Свойства определителя • Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании • При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак • Общий множитель для элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| можно вынести за знак определителя 15

Свойства определителя • Если все элементы некоторой строки (столбца) определите- ля |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю 0 • Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю 16

Определители матрицы высшего порядка Определители n-го порядка вычисляются етодом разложения методом приведения о строке (столбцу) к треугольному виду 17

Метод разложения по строке (столбцу) 1. Добиваемся нулей в той строке, по которой раскладываем = 18

2. Понижаем порядок исходного определителя, разложением по строке и столбцу вида 0 0 0 1 Определитель |A| численно равен сумме произведений эле- ментов любой его строки на соответствующие алгебраиче- ские дополнения. 19

3. Понижаем разряд получившегося определителя до второго, используя тот же алгоритм. = = 20

Метод приведения к треугольному виду 21

Определение обратной матрицы Матрица A– 1 называется обратной к матрице A, если A*A– 1= A– 1*A=E; где /A/ — определитель матрицы А, A. Т — транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы 22