Матрица системы трех линейных уравнений А 1

Матрица системы трех линейных уравнений А= 1

2

D= 3

4

Теорема Крамера для системы трех линейных уравнений c тремя неизвестными 1. Если определитель системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. В этом решении каждое неизвестное равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числителем определитель матрицы, получающейся из матрицы системы заменой столбца при вычисляемом неизвестном столбцом из свободных членов. 5

2. Если D=0 и хотя бы один из определителей отличен от нуля, то система уравнений несовместна. 3. Если D=0 и все определители равны нулю, то система уравнений либо неопределенна и эквивалентна системе из меньшего числа ее уравнений, либо несовместна. 6

Пример 11. Решить систему уравнений 7

8

Пример 12 система несовместна 9

Пример 13 умножим обе части первого уравнения на 3 это противоречит третьему уравнению система несовместна 10

Пример 14 система равносильна системе двух уравнений и имеет бесконечное множество решений, то есть неопределенна 11

Система n линейных уравнений с n неизвестными 12

, , . …, 13

Теорема Крамера для системы n уравнений c n неизвестными 1. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. В этом решении каждое неизвестное равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числителем определитель матрицы, получающейся из матрицы системы заменой k го столбца столбцом из свободных членов. 14

2. Если D=0 и хотя бы один из определителей отличен от нуля, несовместна. то система уравнений 3. Если D=0 и все определители равны нулю, то система уравнений либо неопределенна и эквивалентна системе из меньшего числа ее уравнений, либо несовместна. 15

Системы линейных однородных уравнений нулевое (тривиальное) решение 16

Замечание: 1. Если определитель системы линейных однородных уравнений не равен нулю, то, согласно теореме Крамера, система имеет единственное решение, которым, очевидно, является нулевое решение. 2. Если определитель системы линейных однородных уравнений равен нулю, то такая система, кроме нулевого решения, имеет еще бесконечное множество других, ненулевых решений. 17

Теорема 1. (Необходимые и достаточные условия наличия ненулевых решений однородной системы). Для того, чтобы система линейных однородных уравнений с неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и доста точно, чтобы определитель системы был равен нулю. При этом система эквивалентна системе из меньшего числа ее уравнений и имеет бесконечное множество решений. Рангом квадратной матрицы n-го порядка называется число такое, что среди миноров n го порядка данной матрицы имеется, по крайней мере, один, отличный от нуля, а все миноры (n+1) го порядка равны нулю. Теорема 2. Система п линейных однородных уравнений с n неизвестными эквивалентна системе из r ее уравнений, где r ранг матрицы системы. 18

Возможны два случая: 1. 19

2. a) 20

б) 21

Пример 15 22

Пример 16 , где 23