Матрица ПФЭ для полинома y=b 1 x 1+b 2 x 2 – ПФЭ 2 k Номер опыта 1 2 3 4 Матрица планирования x 1 x 2 у – 1 +1 y 1 y 2 y 3 y 4 – 1 +1 +1 столбец соответствует переменной функции отклика, строка - условие проведения отдельного опыта
Матрица ПФЭ для полинома y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 12 x 1 x 2 Номер опыта 1 2 3 4 Матрица планирования x 0 x 1 x 2 x 1 x 2 + – – + + + Выход у y 1 y 2 y 3 y 4
Применение результатов ПФЭ для построения уравнения регрессии. • Цель – найти по результатам эксперимента значения неизвестных коэффициентов модели вида y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2. • Для определения коэффициентов уравнения регрессии воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК).
поскольку , то после дифференцирования получим :
Для линейной регрессии при k=2:
продифференцировав Y по коэффициентам, получим: Запишем уравнения в полной форме:
Получим следующие формулы для вычисления коэффициентов или в общем виде
Пример 1. x 1 x 2 yэксп 1, 5 2 14, 502 5 2 20, 294 1, 5 6 30, 473 5 6 36, 974
После нормирования факторов матрица ПФЭ имеет вид: x 0 x 1 x 2 y x 1 y x 2 y 1 -1 -1 14, 502 -14, 5 1 1 -1 20, 294 -20, 29 1 -1 1 30, 473 -30, 473 1 1 1 36, 974 25, 561 b 0 3, 0732 b 1 8, 1627 b 2 среднее
Уравнение регрессии в кодированном виде: Y=25, 561+3, 073 x 1+8, 163 x 2. Для перехода к натуральным значениям коэффициентов необходимо в уравнение регрессии подставить выражение В результате получим следующие коэффициенты: x 1 x 2 yэксп yтеор a 0= a 1= a 2= 3, 528 1, 756 4, 081 1, 5 2 14, 502 14, 3 5 2 20, 294 20, 5 1, 5 6 30, 473 30, 7 5 6 36, 974 36, 8
• ПФЭ позволяет количественно оценивать вклады (эффекты) взаимодействия нескольких факторов - x 1 x 2. • Для этого надо построить столбец произведения двух факторов. • При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с векторстолбцом любого фактора.
Матрица ПФЭ для полинома y=b 0+b 1 x 1+b 2 x 2+b 12 x 1 x 2 x 0 x 1 x 2 x 1 x 2 y x 1 y x 2 y x 1 x 2 y 1 -1 -1 1 16, 152 -16, 15 -16, 2 16, 15 1 1 -1 -1 25, 794 -25, 8 1 -1 35, 423 -35, 42 -35, 4 1 1 53, 474 53, 47 32, 711 b 0 6, 9232 b 1 11, 74 b 2 2, 102 b 3 среднее
Коэффициенты регрессии в натуральном выражении: a 0= a 1= a 2= a 3= 0, 2827 2, 7547 3, 9165 0, 6007 x 1 x 2 x 1 x 2 yэксп yтеор 1, 5 2 3 15, 7 14 5 2 10 26, 5 27, 9 1, 5 6 9 35 33, 3 5 6 30 53, 5 55, 6
