МАТЕМАТИКА – ЯЗЫК ТОЧНОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Вопросы:

МАТЕМАТИКА – ЯЗЫК ТОЧНОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

Вопросы: 1. Математика как наука 2. Фундаментальная основа математики – число 3. История математического знания

1. Математика как наука Математика – это раздел знания, занимающийся такими понятиями, как количество, структура, соотношение и т. п. Математика позволяет получать абстрактное знание о законах и процессах природы и общества

Функции математики: • мировоззренческая (математика открывает суть явлений, учит выявлять, описывать и исследовать как внешние, так и внутренние связи системы); • воспитательная (математика вырабатывает исследовательский, творческий подход; настойчивость, терпение и трудолюбие; аккуратность; логичность и строгость суждений; умение выделять главное и игнорировать второстепенное; умение ставить новые задачи и т. п. ); • культурная (математика повышает уровень общей культуры мышления, поведения, выбора); • эстетическая (математика объединяет разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами: красота, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого и т. п. ).

2. Фундаментальная основа математики – число Первые представления о числе появились в эпоху каменного века. Математические знания древнего человека ограничивались понятиями «один» , «два» , «много» . Долгое время математическим пределом оставалось число «семь» . Дальнейшее развитие человеческого общества привело к пределу: «сорок» . Самая большая величина того времени «сороков» ровна 1600. Предел «шестьдесят» , часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как большое число. Следующим пределом стало число равное 10 000.

КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСЕЛ ь Натуральные числа – числа 1, 2, 3, . . . т. е. целые положительные числа. Обозначают эту совокупность чисел буквой N. Эти числа введены для натурального счета, перечисления и нумерации. ь Рациональные числа – это все целые и дробные числа, включая и ноль. Совокупность рациональных чисел обозначают буквой Q. Эти числа введены для работы с частями целого, для представления частей целого. ь Действительные числа – это совокупность иррациональных и рациональных чисел. Обозначают ее буквой R. Эти числа используются для объединения ранее введенных чисел в одно целое.

ь Комплексное число – это число, представимое символически в виде суммы вида c=a+bi, где a, b - некоторые вещественные числа, а i - корень уравнения i 2=-1. ь Векторные числа – это трехмерные числа, которые моделируют векторные величины в пространстве с его тремя координатными осями. Эти числа обобщили все предыдущие числа на пятом уровне обобщения. ь Матричные числа записываются квадратными и прямоугольными таблицами (матрицами) и рассматриваются как единый числовой объект. Это шестой уровень обобщения чисел. ь Трансфинитные числа. В 1883 году немецкий ученый Георг Кантор оценив многовековую историю последовательного обобщения чисел создал теорию трансфинитных (бесконечных, запредельных) чисел. Г. Кантор завершил обобщение чисел на седьмом уровне.

3. История математического знания Развитие математики началось с создания практического искусства счёта и измерения линий, поверхностей, объемов. Счёт долгое время оставался только вещественным – использовались пальцы, камешки, пометки и т. п. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность.

Истоки математики как науки и языка знаний восходят к Древнему Вавилону и Древнему Египту. Древний Вавилон. Математика на клинописных табличках в была связана с ведением хозяйства. Арифметика и алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении процентов, налогов и т. п. Важной задачей математики был расчет календаря, который использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. • Вавилоняне составили таблицы квадратов и квадратных корней, таблицы кубов и кубических корней. Около 700 г. до н. э. вавилоняне стали применять математику для исследования движений Луны и планет.

Древний Египет. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры налогов и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. Главной областью применения математики была астрономия: расчеты, связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила. • Геометрия у египтян сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел.

Родоначальниками классической математики являются греки классического периода (6 – 4 вв. до н. э. ). Математика в Греции развивалась быстро, логически, структурно и оформилась как особая наука с особым методом дедуктивного доказательства. Изобретение дедуктивной математики принято приписывать Фалесу Милетскому (ок. 640– 546 гг. до н. э. ). Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6 – 3 вв. до н. э. , использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы.

Развитие математики в античности связано с учением Пифагора (ок. 585– 500 гг. до н. э. ). Пифагорейцы создали чистую математику в форме теории чисел и геометрии. Есть основания полагать, что именно они открыли то, что ныне известно как теоремы о треугольниках, параллельных прямых, многоугольниках, окружностях, сферах и правильных многогранниках. Величайшим из греческих математиков классического периода был Евдокс (ок. 408– 355 гг. до н. э. ). Он ввел понятие величины для таких объектов, как отрезки прямых и углы. Располагая понятием величины, Евдокс логически строго обосновал пифагорейский метод обращения с иррациональными числами.

Около 300 г. до н. э. результаты деятельности греческих математиков были сведены в единое целое Евклидом в трактате «Начала» . Из аксиом Евклид вывел теоремы, которые охватывали все наиболее важные результаты классического периода. В основе математики Евклида лежат пять постулатов: 1. из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию; 2. ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой; 3. из всякой точки как из центра можно провести окружность любого радиуса; 4. все прямые углы равны между собой; 5. когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Пятый постулат

Александрийская математика (Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант) возникла в результате слияния классической греческой математики с математикой Вавилонии и Египта. В целом математики александрийского периода были склонны к решению чисто технических задач. Высшим достижением александрийских математиков стало создание количественной астрономии. Гиппарх (ок. 161– 126 гг. до н. э. ) разработал тригонометрию. Греческая тригонометрия и ее приложения в астрономии достигли пика своего развития в «Альмагесте» Клавдия Птолемея (умер в 168 г. н. э. ), где представлена теория движения небесных тел, господствовавшая вплоть до XVI в. После завоевания Египта римлянами в 31 г. до н. э. великая греческая цивилизация пришла в упадок. Вклад римлян в развитие математики был незначителен. Римская система счисления основывалась на громоздких обозначениях чисел.

Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья не способствовала развитию математической науки, поскольку интеллектуальная жизнь сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В своем сочинении «Книга абака» (1202 г. ) он познакомил европейцев с индо-арабскими цифрами и методами вычислений, а также с арабской алгеброй. Фибоначчи, решая задачу о размножении кроликов, нашел числовую последовательность вида: { Fn}: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . Которая, как показал великий немецкий математик и астроном И. Кеплер (1571— 1630) представлена в живой природе. Количество лепестков у цветов, имеющих форму правильной розетки, равно числам Фибоначчи либо, если они располагаются в два яруса, удвоенным числам Фибоначчи

В эпоху Возрождения математика получает новые возможности. Введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. В 1614 г. Изобретены логарифмы Дж. Непером. В XVI в. итальянские математики Н. Тарталья (1499 – 1577 гг. ), С. Даль Ферро (1465– 1526 гг. ), Л. Феррари (1522– 1565 гг. ) и Д. Кардано (1501– 1576 гг. ) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Этому способствовало систематическое использование букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Для точности в алгебру введено множество символов, в том числе +, –, =, > и <.

Аналитическая, или координатная, геометрия была создана независимо П. Ферма (1601– 1665 гг. ) и Р. Декартом (1596 – 1650 гг. ) для того, чтобы расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Основатели современной науки – Николай Коперник (1473 – 1543 гг. ), Иоганн Кеплер (1571 – 1630 гг. ), Галилео Галилей (1564 – 1642 гг. ) и Исаак Ньютон (1643 – 1727 гг. ) – подходили к исследованию природы математически. Исследуя движение, математики выработали такое фундаментальное понятие, как функция. Создание дифференциального и интегрального исчислений в XVII в. ознаменовало начало «высшей математики» .

Математика XIX в. ознаменовалась появлением неевклидовой геометрии. Н. И. Лобачевского (1792– 1856 гг. ) и Яноша Бойяи (1802– 1860 гг. ). В их геометриях через данную точку можно провести бесконечно много параллельных прямых. В геометрии Б. Римана (1826– 1866 гг. ) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной прямой.

В конце XIX в. и в начале XX в. теория вероятностей получила много новых применений благодаря созданию теории случайных процессов и развитию аппарата математической статистики. В современной математике численные методы анализа и алгебры выросли в самостоятельную ветвь математики – вычислительную математику. Современная алгебра развивает новые области: теория групп, полей, колец, общих алгебраических систем. На границе между алгеброй и геометрией возникает теория непрерывных групп. Основными отделами геометрии становятся дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, риманова геометрия.