Математика в химии и экономике Введение n

Математика в химии и экономике

Введение n n В школьном курсе математики довольно мало внимания уделяется задачам на смеси, концентрации растворов и производительности труда. Однако в последние годы на вступительные экзамены в ВУЗы такие задачи даются абитуриентам достаточно часто и вызывают у них затруднения. Цель настоящего реферата – изучение методов решения таких задач, решение нескольких задач на изменение концентраций и на начисление простых и сложных процентов (банковских задач).

Содержание реферата n Введение Основная часть: а) Теоретический материал, связанный с концентрацией смесей, растворов и сплавов. б) Рассмотрение схем начисления банковских процентов и случаи сложных процентов. в) рассмотрение производительности труда. г) Рассмотрение задач на каждый случай. Результаты. Заключение. n Литература. n n n n

Задачи на концентрации n n n Рассматривая задачи на составление уравнений, остановимся, прежде всего, на задачах, решение которых связано с использованием понятий “концентрация” и “процентное содержание”. Обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ. Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем: а) все получающиеся сплавы или смеси однородны; б) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V 1 и V 2, получается смесь, объем которой равен V 1+V 2, т. е. V 0 =V 1+V 2. Заметим, что такое допущение не представляет собой закон физики и не всегда выполняется в действительности. На самом деле при слиянии двух растворов не объем, а масса или вес смеси равняется сумме масс или весов составляющих ее компонент.

n n n Концентрации - это безразмерные величины; сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, очевидно, равна единице: c. A+c. B+c. C=1. Концентрация бывает по объему и по массе. Концентрация по объему равна отношению V компонента к V всего вещества. Концентрация по массе равна отношению m компонента к m всего вещества.

n n n n Объемным процентным содержанием компоненты А называется величина р. А=c. A 100% , т. е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах. Если известно процентное содержание: вещества А, то его концентрация находится по формуле c. A=р. А/100%. Так, например, если процентное содержание составляет 70%, то соответствующая концентрация равна 0, 7. Процентному содержанию 10% соответствует концентрация 0, 1 и т. д. Таким же способом определяются и весовые (массовые) концентрация и процентное содержание, а именно как отношение веса (массы) чистого вещества А

Задача на разбавление n n n n n Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой; потом опять вылили столько же литров смеси, тогда в сосуде осталось 24 л чистой кислоты. Емкость сосуда 54 л. Сколько кислоты вылили в первый и второй раз? Решение. Пусть в первый раз вылили х литров кислоты. Тогда в сосуде осталось 54 -х литров кислоты. Во второй раз вылили х литров раствора кислоты концентрации 100(54 -х)/54%. , то есть в этом растворе было х(54 -х)/54 чистой кислоты. То есть х+х =54 -24 54 х +54 х-х2 =54 30 х2 – 108 х + 1620 = 0 х1=90 -не удовлетворяет условию задачи х2= 18 Следовательно, в первый раз вылили 18 л кислоты, во второй раз – 12 л.

Задачи на банковские проценты: n n n Увеличение вклада S 0 по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада независимо от срока хранения и количества периодов начисления процентов. Пусть вкладчик открыл счет и положил на него S 0 рублей. Пусть банк обязуется выплачивать в конце каждого года р% от первоначальной суммы S 0. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составит руб. , и величина вклада станет равной S 1=S 0. Величину р % называют годовой процентной ставкой. Если оставить вклад еще на год, то начисление процентной ставки производится на первоначальный вклад S 0 и не производится на величину. То есть, через n лет сумма начисленных процентов составит руб. а величина вклада вместе с процентами составит S 1=S 0 руб. Отношение Sn/S 0 называют коэффициентом наращивания простых процентов

Задачи на рост производительности n n n Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на р%, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на 10% больше, чем за первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48, 59%? Решение. За первый год выработка возросла в (1+р/100) раз по сравнению с первоначальной, за второй год – в (1+(р+10)/100)раз по сравнению с началом второго года и в (1+р/100)(1+(р+10)/100) по сравнению с первоначальной и составила 1, 4859: (1+р/100)(1+(р+10)/100) = 1, 4859 Отсюда р=17%

ЗАКЛЮЧЕНИЕ n n В настоящем реферате рассмотрены методы решения задач, связанных с изменением концентраций, начислением банковских процентов и ростом производительности. Эти задачи решаются по одинаковым алгоритмам. Рассмотрены наиболее типичные задачи, дано их решение. Для решения задач, приведенных в настоящем реферате достаточно математического аппарата 8 класса. Однако, ряд задач по рассмотренным вопросам можно решить лишь обладая знаниями математики, получаемыми в старших классах школы. Поэтому целесообразно продолжить тему данного реферата в выпускном классе , тем более, что подобные задачи все чаще встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы

Результаты Работая над этим рефератом я поняла алгоритм решения задач по теме «Проценты» . n Эта работа поможет мне при подготовке к Единому Государственному Экзамену по математике, химии и обществознанию. n

Список литературы n n 1. М. В. Лурье, Б. И. Александров “Задачи на составление уравнений”. -М. : Наука, 1976. 2. 3000 конкурсных задач по математике. М. : Рольф, Айрис-пресс, 1998. 3. Справочник для поступающих в Московский университет в 1995 г. -М. : Издво Моск. Ун-та, 1995. 4. Математика в школе №№ 4, 5 1998 г.