Математика в период создания и укрепления русского государства

Математика в период создания и укрепления русского государства (XIV-XVII вв. )

XIII-XIV в. XV-XVI в. XVIII в. План 1) Математика в период создания централизованного государства (XIV-XVI вв. ). а) Краткая историческая справка. б) Математика в литературе XVI века. в) Математика сошного письма. Особенности метрологии. 2) Развитие математических знаний в Белоруссии, Украине и Литве. 3) Математика в России в XVII веке. а) Краткая характеристика культурного развития. б) Общая характеристика рукописных изданий.

240 лет татаро-монгольского ига На Руси (XIII – XV вв. )

Татаро-монгольское иго – период зависимости русских княжеств от монголо-татарских ханов (XIII-XV вв. ): • начало - монгольское нашествие на Русь (1237 -1241); • процесс объединения княжеств - с 60 -70 -х годов XIV в. по инициативе Москвы; • 1380 г. – битва Дмитрия Донского на Куликовом поле; • 1478 г. - присоединение к Московскому княжеству земель Великого Новгорода, 1485 г. – Твери, 1510 г. – Пскова, 1520 г. – Рязани; • конец XV в. - присоединение Северщины и Смоленщины; • 2 -я пол. XV - нач. XVI вв. - завершение политического объединения русских княжеств вокруг Москвы.

Иван Грозный Ларец-ковчег для хранения грамоты об утверждении на царство Ивана IV. 1547 г.

Опричнина Ивана Грозного

Главная цель опричнины : уничтожение феодальной раздробленности. Результаты опричнины: • обескровила страну, • деморализовала народ, • привела к обострению противоречий внутри страны, • ослабила ее военную мощь. • На западе войска Речи Посполитой успешно оттеснили русских. Ливонская война была окончена с незначительными достижениями русских. • Шведские войска захватили Нарву, Копорье и др. уезды, и отказывались их возвращать. • 1571 г. из-за низкой боеспособности опричного войска крымские татары сожгли Москву. • Произошло дальнейшее закрепощение крестьянства, причем в самых жестких формах (барщина).

Научно-просветительская литература XVI в. «Метафизика» Ал-Газали (10591111) Аль-Газали Абу Хамид Мухаммад Ибн Мухаммед иранский теолог и философ ислама. • даны определения тела, поверхности, линии и точки, прямого и тупого углов; • рассмотрено отличие дискретного количества от непрерывного (можно ли рассматривать линию, поверхность и тело как движения точки? ); • изучен вопрос о «составе тела» : тело состоит из «неделимых» , тело является «неделимым единством» , тело состоит из материи и формы (из «телествия» и «душествия» ) (Аристотель).

«Космография» Космография — изучение устройства Вселенной в целом. До XVII в. – география и картография (в частности, описание стран и народов). - образчик переводной литературы, в ней приведены : • некоторые геометрические понятия и определения в связи с описанием строения Вселенной; • определения диаметра, центра окружности и круга; • определение окружности компиляция из нескольких искажённых переписчиками определений (дано со ссылкой на первую книгу «Начал» Евклида). - астрономические таблицы с краткими рекомендациями о пользовании для определения времени лунных и солнечных затмений.

Русские математические рукописи XVI века

Русские математические рукописи XVI века Фёдор Григорьевич Баузе «Арифметика» (из собрания Ф. Г. Баузе, 395 рукописей) (1752 -1812) - юрист, историк права, собиратель славянорусских рукописей, книг, русских монет; членкорреспондент ПАН, ректор Московского университета (1807 -1809). «Сия книга рекома по-гречески арифметика, а по-немецки алгоризма, а по-русски цифирная счётная мудрость» . В каталоге XVII в. указано: «Арифметика писана, сколько по всему догадываться можно, в XVI веке и есть без сомнения старейшая из всех математических рукописей, которые находятся или найтись могут на русском языке» .

• рукопись написана во второй половине XVI века (Н. М. Карамзин, XIX в. ); • точная дата – 1556 год , в ней даются правила измерения площадей земельных участков (В. Н. Татищев, XVIII в. ). • составлена в период правления Ивана Грозного (1530 -1584) - первое руководство по геодезии : «Книга, именуемая геометрия, или землемерие радиксом и циркулем. . . глубокомудрая, дающая легкий способ измерять места самые недоступные, плоскости, дебри» .

Арифметические рукописи, относящиеся к рассматриваемому периоду: • «Счёт греческих купцов, учат младых деток считать, имущих десять грань» - таблица умножения, входящая в состав псалтыри XVI века (текст не сохранился). • «Сия книга глаголема по-гречески арифметика, а по-русски цифирная счётная мудрость» рукопись бывшей Московской Духовной Академии, относится к концу XVI века. Известно содержание только первых двух статей: первая посвящена нумерации, вторая – сложению целых чисел (текст не сохранился). • Единственной сохранившейся до настоящего времени рукописью XVI века является статья «О земном же верстании, как земля верстать» .

«Торговая книга» (1575 или 1610 гг. ) «Книжка описательная, како молодым людям торг вести и знати всему цену, и от части в ней описаны всяких земель товары различные, их же привозят на Русь немцы и иных земель люди торговые» ( в 3 -х частях): I часть - описание веса, мер и денежного счёта, II часть – все товары, привозимые на Русь с указанием стоимости, III часть – «советы» , как продавать русские товары в Западной Европе. • «Совет» № 171 - решение задачи « 10 пудов стоит 20 ефимков, сколько стоит 1 пуд? » и обратной задачи: « 1 фунт стоит 5 стювертий, сколько стоит 1 пуд? » . • «Совет» № 175 : предложение произвести расчёты, необходимые для продажи 100 берковцев готовых канатов, если 1 пуд их стоит 14 алтын и 2 деньги или 24 алтына и 2 деньги, или 20 алтын при стоимости льна 4 мили 2, 5, или 5 рублей за берковец, чтобы не иметь при этом убытка.

Математика «Сошного письма» Сошное письмо в России XV-XVII вв. -описание земельных владений на селе и в городах Московского государства, кадастровая система: • единицей служила соха; • проводилось с целью поземельного обложения, то есть сбора податей и отбывания повинностей. «О земном же верстании, как землю верстать» описание правил нахождения площадей простых земельных участков (7 задач).

Особенности русской метрологии: • землю измеряли в четвертях, десятинах и их частях; • результат переводили в сохи или её части; • соха не имела постоянный размер, а зависела от качества земли; • 1 соха = 800 четвертям хорошей, 1000 четвертям средней и 1200 четвертям плохой земли; • выть применялась наряду с сохой; • выть составляла 12 четвертей хорошей, 14 – средней и 16 – плохой земли; • существовал принцип «одабривания» : определённое количество четвертей средней и плохой земли приравнивалось к соответствующему количеству хорошей земли; • сохи, четверти, трети и выти делились на части, кратные 2 и 3 и назывались соответственно «пол» , «треть» , «четверть» , «полчетверти» , «полтрети» , «полполчетверти» .

Задачи в «Сошном письме» Задача 1 – вычислялась площадь прямоугольника со сторонами 40 и 53 сажен. Её решали разбиением на квадраты со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника и находили сумму площадей этих квадратов и площади прямоугольника – остатка, выражая её как часть площади квадрата. Задача 2 - поле имело форму равнобедренной трапеции, а его площадь найдена как произведение полусуммы оснований на боковую сторону - «хобот» . В рукописи – ошибка, в других более поздних списках она исправлена. Задачи 3 и 4 - находили площадь четырёхугольника. В задаче 3 разбивали поле на 3 треугольника и четырёхугольник, который считали равнобедренной трапецией. Площадь четырёхугольника находили аналогично предыдущей задаче, а площадь треугольника путём умножения половины одной стороны на другую. В задаче 4 рисунок к ней и условие не совпадали, но основная идея такова – разбиение фигуры на 4 треугольника (прямоугольных). Задача 5 - вычисление площади пятиугольника разбиением на 6 треугольников, рисунок не соответствовал условию). Задача 6 –вычисление площади трапеции, разбитой на 2 треугольника и прямоугольник. Задача 7 - четырёхугольное поле, сходного с задачей 3, но его площадь найдена иначе (сумма площадей 3 треугольников и четырёхугольника с равными противоположными сторонами).

Задачи в «Сошном письме» 1 3 2 4 5 7 6

Меры длины: сажень: великая - 249, 46 см, • без чети - 197, 21 см, • мерная - ≈ 167, 4 см, • косая – 216, 04 см, • прямая – 152, 76 см, • трубная – 187, 08 см, • морская – 184 см; локоть: простой и смоленский; верста: по писцовому указу 1554 г. равна 500 саженям, (употреблялись вёрсты в 600, 650, 750 и 1000 саженей); аршин = 4 пядям = 16 четвертям (известен с XVI в. ), в XVII в. узаконен государством ( «печатный аршин» - 1656, 1681 гг. ). Меры площади: соха, выть, четверть, десятина. • десятина по писцовому указу 1554 г. – в длину и ширину по 50 саженей, • по уставной грамоте 1688 г. – в длину 80, а в ширину – 40 саженей.

Меры сыпучих тел: • Общеупотребимая мера - кадь (бочка, оков): кадь ≈ 14 пудов =2 половникам = 4 четвертям = 8 осьминам; • местные меры: Новгород – короб, корец и ласт (120 пудов зерна); Двина – пуз (10 пудов зерна или соли); Псков – зобница = 2 позобенья = 4 четвёркам; Белозеро – овёс и соль измеряли мехами. Меры жидкостей: бочка, насадка, ведро и корец. • По новгородским писцовым книгам : 1 бочка = 10 вёдер= 4 насадки. Меры веса: • • большая гривенка (96 золотников); малая гривенка (48 золотников); визмен золотник = 96 долей (фунта) = 4, 266 г; в рукописях встречаются берковец, контарь, пуд, почка, пирог.

Денежная система: • в берестяной грамоте (1 -я четверть XV в. ) феодальная подать - в белках и натурой; • современный денежный счёт, основанный на делении рубля на 100 копеек, сложился в XV веке на сочетании новгородской и московской систем: Московская 1 рубль = 200 деньгам полушка златники Новгородская 1 рубль = 216 деньгам 1 полтина = 100 деньгам 1 полтина = 108 деньгам 1 гривна = 20 деньгам 1 алтын = 6 деньгам 1 гривна = 14 деньгам • из этих денежных единиц до XVIII в. только деньга была серебряной чеканной монетой, остальные – счётные единицы; • при Иване III Великом (1440 -1505) удельные князья лишены права чеканить собственную монету, это была привилегия московского князя, причём 2 «московки» = 1 «новгородке» . монеты князей алтын

Обучение математике в школах X I I I - X V вв. • • XIII - нач. XIV вв. - центры культуры - монастыри и церкви. ; при монастырях - библиотеки рукописей, монастырские школы (чтение письмо, пение и счёт); XV в. - появление конфессиональных школ (по вере) (≈ среднее и высшее образование).

Обучение математике в X V I I в. • 1639 г. на базе слияния 2 школ - Киево-Могилянская коллегия (прототип ВУЗа); • состояла из 6 классов (5 ый – 1 год. 6 -ой – 2 года); • в 1 -5 классах изучали грамматику, синтаксис, поэтику и языки; • в 6 классе изучали философию, в состав которой входили арифметика и геометрия; • 1687 г. – Славяно-греко-латинская академия в Москве (по образцу Киево-Могилянской ); • 1661 г. - вторая академия – Львовская; • создание иезуитских (влияние Польши) и «братских» школ (XVI-XVII вв. ) для коренного населения, с целью сохранения национальной культуры (Львов (1586), Перемышль, Киев, Луцк, Вильно и др. ). Симеон Полоцкий (1629 - 1680) деятель восточнославянской культуры, духовный писатель, богослов, поэт, драматург, переводчик, выпускник КМА.

Виды арифметики: Линейная арифметика (арифметика на линиях). На линиях выполнялись действия над целыми числами (нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление), основанные на тех же принципах, что и индийская нумерация. Число изображалось на линиях счётной доски почти так, как на счётах. Отличие в том, что числа могли быть и между линиями, тогда каждый камушек обозначал 5 единиц разряда нижней линии. • Числовая арифметика (цифровая). Запись числа в разделе «нумерация» - с помощью 10 знаков, для действий давали определения. Изложение сложения и вычитания обычное. Изложение умножения начиналось с таблицы умножения, затем – правило умножения на числа, меньшие 5 – правило лентяя (на пальцах), способ умножения в клеточках и пр.

Арифметика на линиях: • На доске (абаке) или на столе чертилась сетка из 6 -9 горизонтальных линий и нескольких вертикальных. • Счет производился при помощи камушков, косточек или медных жетонов – «пенязей» , которые раскладывались на горизонтальных линиях и в промежутках между ними. Правило умножения однозначного числа на 9. Например, n× 9. Поднять n-ый палец, слева – число десятков, справа – единиц.

Тройное правило: • простое (прямая и обратная зависимость, правило для целых и для дробей). Простое тройное правило записывалось в виде схемы, с помощью которой по трём известным величинам находили четвёртую (неизвестную) величину. Оно являлось основой правил «товарищества» , «смесей» , «убытка и прибыли» , «разностей» и применялось для решения различных типов задач. • сложное (дважды применённое простое). a: b=c: d Правило фальшивого положения - алгоритм для решения линейного уравнения первой степени и применявшееся для решения практических задач.

Станислав Гжепский (1523 -1570) - польский землемер, математик, учитель – положил в основу своего учебника «Начала» Евклида. Янош Стегман - ректор школы Польских братьев в Ракуве (1603 -1638), просветитель, математик. Его учебник содержит сведения по практической геометрии, которую автор определял как «часть математики о величинах» . Содержанием геометрии, по его мнению, является изучение непрерывных величин (важнейшие - линия, плоскость и тело) и определял их двояко: с помощью движения и таким образом: точка – граница линии, линия – граница поверхности, поверхность – граница тела.

В учебнике: • мера отрезка определена как отношение отрезка к единице длины; • отрезки измеряются с помощью циркуля и линейки; • решены простейшие задачи на построение, но без объяснений, некоторые – несколькими способами, даже построениями на местности (деление отрезка пополам, на несколько частей, проведение перпендикуляра к прямой в данной точке и из точки, лежащей вне прямой, построение прямой, параллельной данной, построение угла, равного данному и деление угла пополам); • линии делятся на кривые и прямые (встречные, параллельные, секущие, перпендикулярные, касательные);

• определены понятия (периметр, радиус, центр и диаметр) для многоугольника (не для окружности); • понятия подобных и равных фигур; • площади квадрата, прямоугольника и параллелограмма вычислены разбиением их на треугольники (без объяснений); • треугольник – фигура с тремя углами и тремя сторонами; • в треугольниках с равными углами соответствующие стороны пропорциональны; • рассмотрены задачи о преобразованиях прямоугольников в равновеликие треугольники; • изложены классические задачи по измерению на местности; • площадь треугольника вычисляется 2 способами: по формуле Герона и по обычной формуле: • дано понятие четырёхугольника, • выделены его виды (параллелограмм и трапеция), рассмотрены некоторые их свойства, • помещены решения 10 задач (на построение фигур, равновеликих данным, но с описаниями без построений)

• в разделе «О многоугольниках» рассмотрено построение многоугольников и вычисление их углов; • круг определён как круглая фигура, эллипс – как удлинённая фигура, но площадь круга и сектора вычислены правильно; площадь эллипса вычислена «разделением его на 2 полукруга и параллелограмм» ; • изложен материал по стереометрии (поверхности разделены на цилиндрические, конические и сферические и определены как поверхности вращения, правила вычисления их площадей соответствуют современным формулам; • правильно классифицированы многогранники, вычислены их объёмы (кроме объёма бочки); • помещены некоторые сведения по тригонометрии.

XII век. Историческая справка • Разгром польской и шведской интервенции. • Развитие русской культуры, в частности просвещения. 1634 «Грамматика» М. Смотрицкого 1648 «Азбука» В. Бурцева 1637 Мелетий Смотрицкий (1577 -1579 или 1572), архиепископ Полоцкий; писатель, деятель просвещения. «Букварь» В. Бурцева Бурцов-Протопопов Василий Федорович (? -после 1648 года) - российский издатель, работал на Московском печатном дворе, первым в России стал издавать «массовые» книги светского содержания, первые русские печатные учебники (азбуки, святцы, календари).

Букварь Кариона Истомина 1692 -1694 гг. Иеромонах Карион (Истомин) (конец 1640 -х - 1722) иеромонах московского Чудова монастыря, писатель, придворный поэт, глава Московского печатного двора. буква «како» буква «зело»

XVII век Площадь Ивана Великого в Москве У книжной лавки

Вторая половина XVII века: • выпуск первой рукописной газеты «Куранты» (с 1621 г. ); • появление светских книг; • открытие сети библиотек; • спрос на образованных людей; • открытие школ и академий. Русский первопечатник Иван Федоров и его помощник Петр Мстиславец в типографии Библиотека Посольского приказа

Первые мирские школы

Во второй половине XVII века в Москве функционировали следующие учебные заведения: • греко-латинская школа, основанная справщиком книг Арсением Греком; • школа в Чудовом монастыре под началом Епифания Славинецкого; • училище в Андреевском монастыре; • типографская школа Фёдора Поликарпова; • школа Богоявленского монастыря братьев Лихудов; • школа при Спасском монастыре за Иконным рядом под руководством Симеона Полоцкого; • школа при печатном дворе иеромонаха Тимофея.

Первая русская академия • 1682 г. - школа Сильвестра Медведева при Заиконоспасском монастыре • 1685 г. – школа братьев Лихудов при Богоявленском монастыре ; • 1678 г. – объединение школ и появление Эллино-греческой академии (1678 -1701), Славяно-латинская академия (1701 -1775), Славяно-греко-латинская академия (1775 -1814); • сейчас переведена в Троице-Сергиеву лавру и преобразована в Московскую духовную академию. Братья Софроний и Иоаникий Лихуды Сильвестр Медведев СГЛА

Общая характеристика рукописных изданий 1. Рукописи математического содержания (44 рукописи) «Сия книга, глаголемая по-гречески арифметика, а понемецки алгоризма, а по-русски цифирная счётная мудрость» : • предназначены для торговцев, чиновников, управителей, ремесленников и пр. ; • материал разделён на части (статьи), а те – на параграфы (строки) по возрастанию трудности; • в содержание входят традиционные вопросы: нумерология, способы счёта, метрология, действия с именованными числами и дробями, рецептурные правила (тройное, пропорциональное деление, фальшивое) для решения задач и задачи для развлечения и развития смекалки (иногда с решениями);

• как правило, в рукописях употребляется славянская нумерация, много реже – арабская; • терминология своеобразна: • число – перечень, нуль – оный или оник, • дроби: • - пятина, - седьмина, - двенадцать тринадцатин или двенадцать тринадцатых жеребьёв (частей), • сумма – исподний или нижний, или большой перечень (сумма подписывалась под слагаемым – перечнями), уменьшаемое и вычитаемое – заёмный (заём) и платёжный (платёж) перечень, разность – остаток, числитель – верхнее, знаменатель – нижнее число; • авторы хорошо знакомы с современной им учебной литературой Западной Европы; • отличие русских рукописей - в наличии большого числа задач с решениями (иногда с подробными пояснениями.

2. Сборники с разделами математического содержания. Рукопись «Синодальная 42» - единственный • • • сохранившийся до наших дней учебник по теоретической геометрии (нач. XVII в. ), составитель – Ивашко, князь Елизарьев: Состоит из 2 предисловий и 2 книг по планиметрии (по 2 ч. ); Изложение – с большим количеством чертежей и гравюр, вырезанных из какой-то латинской книги; 1 -я часть - 47 глав - содержит планиметрические определения (линии, поверхности, тела, угла и их видов, окружности, круга), многие сведения взяты из «Начал» Евклида; 2 -я часть - планиметрические теоремы для измерения площадей, некоторые материалы из трудов Архимеда (например, «Об измерении круга» ) и Паппа. Книга II посвящена построениям на плоскости, но есть и задачи вычислительного характера, в первой её части помещено 99 теорем, во второй – 33.

3. Не математические рукописи, содержащие сведения по математике: • «Уставы для землемеров» , • «Устав ратных дел» и пр. тоже дают представление о практической геометрии в России, являются своеобразными как по содержанию, так и по изложению, находясь на уровне западных образцов XV-XVII вв. Описание славянских рукописей Московской Синодальной Библиотеки Синодальная рукопись 42

Литература 1. Зубов, В. П. Вопросы о «неделимых» и бесконечном в древнерусском литературном памятнике XV века // Историко-математические исследования. – 1950. – В. 3. 2. Горский, А. В. , Невоструев, К. И. Описание славянских рукописей Московской Синодальной библиотеки. - М. , 1855 -1917. 3. http: //do. gendocs. ru/docs/index-39837. html? page=2 4. Симонов, Р. А. Математическая мысль допетровской Руси. - М. : Наука, 1977. 5. Цейтен, Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. - М. -Л. : ОНТИ, 1938. - 456 с. 6. http: //ru. wikipedia. org/wiki/%C 8%F 1%F 2%EE%F 0%E 8%FF_ %EC%E 0%F 2%E 5%EC%E 0%F 2%E 8%EA%E 8