Математика в начальной школе Лекция 10 План

Математика в начальной школе Лекция 10

План • • • Еще о мешках Операции с мешками Числа, делимость Разложение на множители НОД и НОК Простые числа

Мешок (совокупность) • Элемент мешка.

Одинаковые мешки Мешки А и В одинаковы, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие, при котором: – Каждый элемент мешка А соединен с таким же (одинаковым) элементом мешка В. – Каждый элемент мешка В соединен с таким же элементом мешка А. – Что такое взаимно-однозначное соответствие? – Второе требование вытекает из первого

Сумма мешков

Задача

Задача

Сумма мешков

• Сумма мешков – это обобщение суммы чисел

Вложение мешков • Взаимно-однозначное соответствие между всеми элементами мешка А и некоторыми элементами мешка Б.

Вложение мешков • Взаимно-однозначное соответствие между всеми элементами мешка А и некоторыми элементами мешка Б.

Объединение мешков • А - мешок продуктов, нужных для приготовления торта, В – мешок продуктов, нужных для приготовления пирога. • Хозяйка еще не решила: торт или пирог. • Мы – экономны. • А ∪ В – это мешок продуктов, которые нужно купить, чтобы иметь возможность приготовить любое из этих блюд.

Пересечение мешков • А - мешок продуктов, нужных для приготовления торта, В – мешок продуктов, нужных для приготовления пирога. • Мы не знаем, что решит готовить хозяйка: торт или пирог. • Мы – экономны. • А ∩ В – это мешок продуктов, которые точно пригодятся хозяйке.

Таблицы • Объединение мешков – максимум. Мешок Мука Яйца Мёд Торт 2 ст. 3 1 ст. Пирог 1 ст. 3 А∪В 2 ст. 3 Орехи Корица Сахар 20 1 ч. л. 1 ст. 1 кг 1 ст. Яблоки 10 3 ч. л. 1 ст. 1 кг 20 3 ч. л. 1 ст. • Пересечение мешков – минимум. Мешок Мука Яйца Мёд Торт 2 ст. 3 1 ст. Пирог 1 ст. 3 А∩В 1 ст. 3 Орехи Корица Сахар 20 1 ч. л. 1 ст. 1 кг 0 ст. Яблоки 10 3 ч. л. 1 ст. 1 кг 10 1 ч. л. 1 ст.

Делимость • Число А делится на число В, если А предметов можно разложить в мешки по В предметов в каждом. • Количество кубиков делится на 3. • B – делитель числа A • A – кратное числа B

Делится • Число А делится на число В, если А предметов можно разложить в мешки по В предметов в каждом. • Количество детей НЕ делится на 2. • Деление с остатком

Произведение чисел мешка • • Сумма чисел мешка… Произведение чисел мешка Достаем по одному… Если в мешке одно число, то произведение – оно само • Если мешок пустой? • Произведение равно 1

Простое число • Простое число – это число, которое делится только на 1 и на себя. • То есть прямоугольник такой площади обязательно имеет одну из сторон 1. • 1 мы не считаем простым числом, так договорились

Мешок разложения • Каждое натуральное число – это произведение мешка простых чисел 1215 = 3 х 3 х 3 х 5 Мешок разложения (У 1 мешок пустой. ) • Число можно разложить на простые множители. 1000000 = 26 х 56 • Мы используем обозначение для возведения в степень 3 3 3 2 3 3 5 х х 2 2 2 5 5 5

Почему? • • • Всякое число можно разложить? Всегда получается одно и то же разложение? Что значит «одно и то же» ?

Задачи • • Сколько делителей у числа 1215? Сколько делителей у числа 1 000? Сколько делителей у числа 121513? Сколько делителей у числа 81 000?

Решение • Сколько делителей у числа 1215? В мешок можно положить от 0 до 5 троек и от 0 до 1 пятёрок. • Вот все делители числа 1215: Троек пятерок Ни одной одна две три четыре пять Ни одной 1 3 3 х3 х3 х3 х3 одна 5 3 х3 х5 3 х3 х3 х3 х5

Как устроены задачи о числе делителей? • То, что в мешках числа – неважно. • Важно: в мешках элементы нескольких сортов. Надо знать, какого сорта сколько элементов

Перемножаем числа • Что происходит с мешками делителей? – Складываются • Общие простые делители чисел – Одинаковы элементы их мешков разложения • Вложение? – Делимость

Как построить НОД? • Имея мешки разложения для чисел • пересечение

Как построить НОК? • Имея мешки разложения для чисел • объединение

Решето Эратосфена • В курсе выложена ссылка на список всех чисел от 1 до 26000 • Мы хотим, чтобы в этом списке остались только простые числа • Каждый стирает числа, делящиеся на то число, которое он получил на карточке, кроме самого этого числа. • Например, если Вы получили число 21, стирайте 42, 63, 84, 105, 126 и так далее. А 21 – не стираете (хотя и знаете, что оно – не простое)!

Сколько существует простых чисел? • Простое – «ни на что не делится» • Как получить не делящееся на данное? – Взять кратное данному и добавить единицу • Как получить не делящее на все из мешка? – Взять произведение мешка и добавить единицу. • Попробуем сложить все простые в мешок • Перемножим, добавим единицу. • Разложим на простые • Их нет в мешке • Получили новое простое • Противоречие

Доказательство бесконечности простых • Евклид • «Начала»