Математика Теория вероятностей и элементы математической статистики Лекцию

Математика Теория вероятностей и элементы математической статистики Лекцию читает Ткаченко Геннадий Григорьевич кандидат физико-математический наук, доцент 1

Формула полной вероятности Пример. Из 10 экзаменационных билетов студент считает 6 билетов "счастливыми". На экзамен он заходит вторым. Допустим, что второй студент не знает выбора первого. Найдем вероятность, что он выберет "счастливый" билет. 2 2

A = {второй студент взял "счастливый" билет} H 0= {первый студент взял "несчастливый" билет} H 1= {первый студент взял "счастливый" билет} A = H 0 A+H 1 A p(A) = p(H 0 A)+p(H 1 A) Применим к каждому слагаемому теорему умножения p(AB) = p(A / B) p(B) Получаем формулу полной вероятности 3

Самостоятельно вычислить полной вероятности по формуле 4

Выводы Вероятности, что первый и второй студенты выбирают "счастливый" ("несчастливый") билеты равны 5

Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Пример Три раза подбрасывают кубик. Найдем вероятность, что шесть очков выпадет два раза. Обозначим A={при одном бросании выпало шесть очков} 6

Обозначим = {при трех бросаниях шесть очков выпало ровно 2 раза} 7

Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если 1) испытания взаимно независимы т. е. их исходы независимы; 2) при каждом испытании событие A может произойти с постоянной вероятностью p Событие A называют "успехом" испытания, а противоположное событие - "неудачей". Обозначим вероятность"неудачи" q=1 -p. 8

обозначает событие, что в n испытаниях произошло ровно m "успехов" Для вероятности этого события справедлива формула Бернулли m = 0, 1, 2, …, n 9

Пример Три раза подбрасывают кубик. Найдем вероятность, что шесть очков выпадет не более двух раз. "Успехом" испытания будем считать выпадение 6 очков. Вероятность "успеха" p=1/6 , вероятность "неудачи" q=5/6 10

Обозначим через C событие, что число шестерок не превосходит двух. Тогда событие можно представить в виде суммы несовместных событий 11

12

Геометрическое определение вероятности Пример. Производится один выстрел по круглой мишени радиуса R. Предполагается, что каждая точка мишени может быть поражена с одинаковой вероятностью. Найти вероятность попадания в круг радиуса r (r

Тогда вероятность этого события по формуле будет равна Если множество равновероятных исходов – интервал [a, b] , то вероятность попадания в [c, d] равна 14

Случайные величины Пример Обозначим буквой число гербов, выпавших при подбрасывании двух монет различного достоинства. Это число будет случайной величиной. 15

Найдем вероятности этих значений. Предположим, что монеты правильные: вероятности всех элементарных событий равны 1/4. Обозначим через Аi событие, что выпало i гербов. A 0 ={ЦЦ}, A 1= {ГЦ, ЦГ}, P(A 0)=1/4 , P(A 1)=2/4, A 2={ГГ} P(A 2)=1/4 16

Из возможных значений случайной величины и их вероятностей составим таблицу ξ pi 0 1/4 1 1/2 2 1/4 Пример Построим ряд для числа очков при одном подбрасывании правильного кубика. ξ p 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 17

Случайной величиной называется функция, которая каждому элементарному событию ставит в соответствие число. Эти числа называют возможными значениями случайной величины. Случайные величины будем обозначать греческими буквами , , , а их возможные значения – латинскими буквами с индексами x i , y i , zi. 18 18

Случайную величину называют дискретной, если ее возможные значения образуют последовательность чисел. Возможные значения xi и их вероятности pi называют рядом распределения дискретной случайной величины : ξ x 1 x 2 … xn pi p 1 p 2 … pn pi , i=1, 2, 19

Функция распределения F(x) случайной величины определяется равенством F (x)=P ξ x} для всех x. ∘ x Пример Построим функцию распределения для числа гербов при подбрасывании двух монет. 20 20

Ряд распределения ξ pi 0 1/4 1 1/2 2 1/4 Возможные значения разбивают всю числовую ось на интервалы (- , 0), [0, 1), [1, 2), [2, + ). На каждом интервале функция распределения - постоянна 21

При любом x из интервала (- , 0) F(x)=0 При любом x из интервала F(x)=1/4 При любом x из интервала 1 2 F(x)=3/4 При любом x из интервала 2 ∞ F(x)=1 22

F(x) 1 0 1 2 3 x 23

Свойства функции распределения 1) При всех x 2) Функция распределения - неубывающая функция аргумента x F(x 1) F(x 2), если 3) Функция распределения непрерывна справа: F(x+0)=F(x). 24

4) 5) Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b]. 25

Пример Найдем вероятность, что число Г будет больше 1. . 26 26

Плотность распределения вероятностей случайной величины Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений заполняют числовой интервал. Непрерывная случайная величина называется абсолютно непрерывной, если существует такая функция f(x), что Функция f(x) распределения величины . называется вероятностей плотностью случайной 27

Равномерное распределение Пример Допустим, что интервал между автобусами составляет 10 минут. Пассажир не знает расписание автобуса. Время ожидания автобуса является любой величиной из [0, 10] с одинаковой вероятностью. F (x)=P ξ t} - вероятность, что время ожидания не больше t минут т. е. в интервале [0, t]. 28

График плотности распределения вероятностей y 1/10 0 10 x 30 30

Случайная величина ξ распределена равномерно на промежутке [a, b], если ее плотность распределения вероятностей задается равенством 3131

График плотности распределения вероятностей y 1/(b-a) 0 a b x 32 32

Найдем функцию распределения равномерно распределенной случайной величины При всех x