Математика Основные задачи Регламент 1 Восстановить начальные знания

Математика. Основные задачи. Регламент 1. Восстановить начальные знания в области математического анализа функций 2. Привить навыки решения задач исследования функций 3. Показать применение теоретического материала для решения прикладных задач 4. Дать первоначальные понятия, связанные с решением оптимизационных задач Регламент изучения дисциплины, отчетность Теоретический материал излагается в основном в первом семестре. Во втором семестре рассматриваются прикладные задачи. Студентам предоставляется необходимые материалы для самостоятельного изучения и выполнения контрольной работы. Для подготовки к экзамену студент должен изучить теоретический материал, выполнить контрольную работу. Теоретическая часть экзамена проводится в виде теста. Практическая часть экзамена проводится как защита контрольной работы 1

Математика. Основные темы • В первом семестре изучаются следующие темы: • 1. Функции: определения, классификация • 2. Последовательности: определения, классификация • 3. Пределы функции и последовательности • 4. Элементы дифференциального исчисления. Исследование функции одной переменной • 5. Элементы интегрального исчисления. Неопределенный интеграл. • 6. Элементы интегрального исчисления. Определенный интеграл. Задача о площади. Несобственный интеграл • Во втором семестре рассматриваются прикладные задачи. • Терминологию по темам и варианты контрольной работы можно найти в папке Контрольная 02 -03 -13 НУО 2

Математика. Форма отчетности • В первом семестре выдается контрольная работа, всего два варианта • К началу второго семестра студенты выполняют контрольную работу. Вариант 1 выполняют студенты, имеющие нечетные номера зачетных книжек, вариант 2 – имеющие четные номера. • Контрольная работа выполняется от руки. • Каждая задача должна быть четко сформулирована Решение должно соответствовать условию задачи • Контрольные работы сдаются на проверку и регистрацию за 10 дней до сессии. • Исправления не зачтенных задач приводятся в той же тетради. • Полностью зачтенная контрольная работа защищается во время сдачи экзамена. 3

Математика. Библиографический список • • Основная литература 1. Высшая математика для экономистов. / Под ред. Н. Ш. Кремера. М. , «Юнити» , 1998 2. М. С. Красс, Б. П. Чупринов. Математика для экономистов. – С. Пб: Питер, 2009 Дополнительная литература 3. Краткий курс по высшей математике. /под ред. Ю. Н. Владимирова. М. , Окей- книга, 2007. 4. А. А. Черняк, Ж. А. Черняк, Высшая математика на базе Mathcad. Общий курс. СПб, БХВ- Петербург, 2004 5. Математика. Сборник формул АСТРЕЛ. Полиграфиздат, Москва, 2010 4

1. Функции: определение, классификация Определение: Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие один элемент y из множества Y, то на множестве X задана функция y = f (x). x - независимая переменная, аргумент; множество значений Х - область определения функции, ООФ , D ; y - зависимая переменная, значение функции, функция; Множество значений Y – область значений, ОЗФ, , или Е. Третьим множеством, определяющим функцию, является ее график Гf. Функция определена, если заданы ООФ , ОЗФ, Гf. Классификация. Выделяют: - Функции одного или более независимых переменных; - Элементарные и неэлементарные функции Элементарные функции подразделяются на - Стандартные элементарные функции - Полученные из стандартных элементарных функций Кривые второго порядка – окружность, эллипс и др. – не являются элементарными функциями 5

Стандартные элементарные функции делятся на два класса: - Алгебраические (степенные): - степенная функция с натуральным показателем y=xn - степенная функция с целым отрицательным показателем y=x-n - иррациональная функция - Неалгебраические (трансцендентные): - Тригонометрические функции у=sin(x); y=cos(x); y=tg(x); y=ctg(x) - Обратные тригонометрические функции arcsin, arccos, arctg, arcctg - показательная функция y=ax; экспоненциальная функция y=ex - логарифмическая функции loga (x), ln (x) 6

1. Алгебраические элементарные функции. Графики. Свойства 1. 1. Функция y=xn , n – натуральное. Графики и свойства зависят от n n нечетное (x, x 3. . ) n четное (x 2, x 4. . ) ООФ (- , + ). ОЗФ (- , + ) Функция нечетная (- , + ). [0, + ) Функция четная Графики функций 7

1. 2. Функция Графики и свойства зависят от n. x=0 - точка разрыва второго рода. Интервалы непрерывности: (- , 0) и (0, + ) n нечетное ООФ (- , 0) (0, + ) ОЗФ (- , 0) (0, + ) Функция нечетная Графики функций , n – натуральное. n четное (0, + ) Функция четная 8

1. 3. Степенная (иррациональная) функция 1. Точек разрыва нет. n нечетное 2. ООФ (- , + ) 3. ОЗФ (- , + ) Функции и n четное [0, + ). являются взаимно- обратными. Для взаимно обратных функций верно: область определения одной из них соответствует области значения другой; Графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой, проходящей под углом 45 0 9

2. Трансцендентные элементарные функции 1. Показательная функция Свойства функции зависят от основания a. a<>0 и a<>1. Возможны два случая: a>1 и 01 0

2. Логарифмическая функция , a>0 и a<>1. Логарифмическая и показательная функции взаимно - обратные, ООФ одной их них соответствует ОЗФ другой и наоборот. Свойства логарифмической функции: 1. Область определения ООФ: (0, + ). Функция непрерывна на (0, + ). 2. Область значений: (- , + ). 3. При a>1 логарифмическая функция возрастающая; при 0

3. Тригонометрические функции sinx, cosx, tgx, ctgx - периодические, поэтому их достаточно исследовать за один период 2. Функции sinx, cosx определены на всей числовой оси. Область значений [-1, 1]. Функция tgx имеет точки разрыва x= /2+ n, n Z, функция ctgx имеет точки разрыва х= n, n Z. Область значений функций (- , + ). 12

4. Обратные тригонометрические функции: непериодические функции arcsinx, arccosx , arctgx, аrcсtgx. Функция ООФ ОЗФ y=arcsinx [ -1, 1] [- /2, /2 ] y=arccosx [ -1, 1] [0, ] y=arctgx (- , + ) (- /2, /2 ) (0, ) y=arcctgx Графики обратных тригонометрических функций Из графиков следует, что функции монотонны на области определения 13

2. Взаимно обратные функции Если каждому значению аргумента х из ООФ соответствует одно значение y из ОЗФ и при этом каждому значению y соответствует одно значение x, то между двумя множествами X и Y установлено взаимно однозначное соответствие. Если поменять местами аргумент и функцию, то получим функцию, обратную исходной. Записывают это так: исходная функция y = f(x); обратная функция x = f-1 (y); Инвариантность переменных позволяют записать y = f-1 (x) Доказано, что любая строго монотонная функция имеет обратную. Пример взаимно-обратных функций: Прямая Обратная Основные свойства взаимно обратных функций: 1). ООФ прямой функции соответствует ОЗФ обратной и наоборот. 2) Графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой y=x 14

3. Основные свойства функций 1. Четность (нечетность). Функция четная, если f(x) =f(-x) ; нечетная, если f(x) = - f(-x); общего вида, когда ни одно из этих условий не выполняется 2. Периодичность. Функция называется периодичной, когда f(x+T) = f(x). Здесь T – период функции 3. Ограниченность. Функция ограничена на промежутке Х, если существует такое М >0, что abs(f(x)) < = М 4. Монотонность. Функция называется монотонной, если она : --возрастающая (f(x 2) > f(x 1) при x 2 > x 1) или -- убывающая (f(x 2) < f(x 1) при x 2 > x 1) 5. Непрерывность. Функция называется непрерывной в точке х0, если: 1. Определена в точке х0 2. Имеет конечный предел при х стремящемся к х 0 3. Этот предел равен значению функции в точке х0 4. Условие непрерывности функции в точке f(x 0 – 0) = f(x 0 +0) = f(x 0). 15

Нарушение любого из условий непрерывности наличию разрыва функции в точке. Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в любой точке интервала Возможны три типа разрыва: 1. Устранимый разрыв 2. Неустранимый разрыв – первого рода второго рода 16

4. Элементарные и неэлементарные функции Элементарные функции - функции, полученные из стандартных при помощи конечного числа: а) алгебраических действий. Примеры таких сложных функций б) операций образования сложной функции ( функции от функции, композиции функций) Неэлементарные функции –функции, не являющиеся элементарными. К ним относят: Функцию модуля Y=abs(х) Функцию знака Y=sign(х) Функцию вычисления факториала, n! 17

5. Предел функции - величина А, к которой с любой наперед заданной точностью стремится значение функции f(x) в данном процессе изменения х При исследовании функции рассматривают пределы : - на границах области определения, чаще это интервал (- , + ) - в точке. При этом рассматриваются: --предел слева от точки ( левосторонний предел ); --предел справа от точки (правосторонний предел) ; --предел функции в точке Напомним: функция непрерывна в точке, если левосторонний предел конечен, равен правостороннему и равен значению функции в точке. В любом процессе предел может быть : = + или - - говорят о бесконечно большой величине, ББВ; =0 - говорят о бесконечно малой величине, БМВ; = А (константе) – говорят, что процесс ограничен. 18

1. Предел на бесконечности равен 1 Y=1 горизонтальная асимптота - 2. Предел на бесконечности 3. Бесконечно большая функция 4. Пределы в точке разрыва второго рода х р = 1 Прямая х р = 1 – вертикальная асимптота равен нулю. Бесконечно малая величина. Прямая Y=0 – горизонтальная асимптота 19

Основные свойства пределов 1. Предел постоянной величины есть сама постоянная 2. Предел алгебраической суммы величин равен алгебраической сумме пределов этих величин 3. Предел произведения величин равен произведению пределов 4. Предел отношения двух величин равен отношению пределов, при условии, что предел знаменателя отличен от нуля • если 5. Предел сложной функции равен пределу от предела lim f (u (x) ) = lim f (lim (u (x) ) 20

9. 5. Примеры вычисления пределов Пример 1 (свойства 1, 2). Вычислить Пример 2 (свойство 3). Вычислить Получили неопределенность. Чтобы избавиться от неопределенности, необходимо преобразовать исходную формулу Полученную неопределенность можно раскрыть, используя иерархию последовательностей (функций) по скорости возрастания (или убывания) при n ->∞ (x-±∞). -для последовательностей при n-> ∞: n!>>en >>na>>ln(n) – где a > 0 -для функций: при x-> ∞ ex >> xa>> ln(x) – где a > 0. Это означает, что 21

9. 5. Примеры вычисления пределов Пример 3 (свойство 4). Вычислить Задача сводится к вычислению предела отношения двух многочленов (полиномов), которая приводит к неопределенности Для решения этого класса задач можно применить формулу Тогда 22

4. Найти Старшая степень числителя n=2; старшая степень знаменателя m=3. Так как m>n, то согласно формуле (*) 5. Найти (n=m) 6. Найти (n>m) 7. Найти (n>m). Знак минус, так как у коэффициентов при старших степенях числителя и знаменателя разные знаки 23

Вычисление предела сложной функция Y=f(U(x)) Правило вычисления предела: lim f(U(x))= lim f (lim U(x) ) Пример 8. Вычислить Пример 9. Вычислить Пример 10. Вычислить Некоторые задачи этого класса приводят к В этом случае задача сводится ко второму замечательному пределу 24

Замечательные пределы 1. В прикладных задачах радиотехники, физики широкое применение получил первый замечательный предел и его следствия 2. В банковской деятельности, для анализа доходности по сложной схеме начисления процентов, применяется второй замечательный предел и его следствия е= 2. 73– константа Эйлера; 3. Второй замечательный предел для функций Следствие 25

Примеры решения задач, приводимых ко второму замечательному пределу Пример 10. Вычислить Введем новую переменную t=x-2. Тогда x=t+2 и 26

Примеры решения задач, приводимых ко второму замечательному пределу Пример 11. Вычислить Решение. Преобразуем исходную формулу Обозначим t=2 x-1; х =0. 5*(t+1), 4 х =2 t+2. Тогда 27

Задачи, сводящиеся ко второму замечательному пределу и его следствию Пример 12. Вводим новую переменную t=x-2. Тогда x=t+2. Преобразуем 28

Задачи, сводящиеся ко второму замечательному пределу и его следствию Пример 13. Пример 14. 29