Математика и информатика Ческидова Анна Александровна Содержание

Математика и информатика Ческидова Анна Александровна

Содержание q Множества и операции над ними q Элементы теории вероятности q Элементы математической статистики q Комбинаторика q Основы логики q Измерение информации q Базовые алгоритмические конструкции

Понятие множества Если отношение задано неравенством |y-x|<2, то данному отношению принадлежит следующая пара чисел А) (1, -1) Б) (-3, 1) В) (-1, -2) Г) (-1, -3) q Решение: |-1 -1|<2 |1 -(-3)|<2 |-2|<2 |1+3|<2 2<2 4<2 |-2 -(-1)|<2 |-3 -(-1)|<2 |-2+1|<2 |-3+1|<2 1<2 2<2 Если отношение задано неравенством y/x<=2 то данному отношению принадлежит следующая пара чисел А) (-1, -5) Б) (0, 1) В) (1, 0) Г) (-1, -3) q Решение: -5/-1<=2 5<=2 1/0<=2 0/1<=2 0<=2 -3/-1<=2 3<=2

Понятие множества q q Если отношение задано неравенством 4 x+2 y<0, то данному отношению принадлежит следующая пара чисел Принято обозначать : N – множество натуральных чисел Q – множество рациональных чисел Z – множество целых чисел R – множество действительных Тогда верным утверждением будет. .

Отношения между множествами q. Множества A и B не имеют общих элементов q. Множества A и B имеют общие элементы, но не все элементы множества A принадлежат множеству B, и не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае Говорят о пересечении множеств A и B q. Все элементы множества B принадлежат множеству A, но не все элементы множества А принадлежат множеству В, то множество В называется подмножеством множества А. q. Все элементы множества A принадлежат множеству B и все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят, что множества A и B равны.

Операции с множествами q q q Объединением множеств A и B называют множество элементов, входящих хотя бы в одно из них, и обозначают A B Пересечением множеств A и B называют множество элементов, входящих сразу и в A, и в B. Разностью множеств A и B называется множество элементов, входящих в A и не входящих в B. Обозначение - AB.

Заданы множества A={2, 4, 6} и B={6, 2, 4}, тогда для них верным утверждением будет А) «Множества А и В не имеют общих элементов» Б) «Множество А включает в себя множество В» В) «Множество А есть подмножество множества В» Г) «Множества А и В равны» q На рисунке изображены множества А, В и С. Тогда объединением этих множеств является А) В С Б) А В) Ø Г) В С q На рисунке изображены множества А и В. Тогда пересечением этих множеств является А) В Б) А В) Ø Г) АВ q

На рисунке изображены множества А и В Тогда заштрихованное множество – это А) ВА Б) А В В) А В Г) АВ q Заданы произвольные множества A, B, C. Расположите указанные множества так, чтобы каждое из них было подмножеством следующего за ним. q Заданы множества С= {} и D= {1, 2, 3}. Верными для них является утверждения. . q Пусть M 1={a, b, c}, M 2={d, e}, M 3={a, b, c, d, e}. Тогда множество M 3 равно. .

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А* В. Пусть даны множества А 1={2, 3}; А 2={3, 4, 5}; A 3={7, 8}. Декартово произведение А 1 *А 2 *А 3={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7), (2, 5, 8), (3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}. q Заданы множества А={1, 3} b B={a, в}, тогда декартовым произведением этих множеств А В является множество. . q

Элементы теории вероятностей Классическое определение вероятности. Если результаты испытания можно представить в виде полной системы n равновозможных и попарно несовместимых событий и если случайное событие появляется только в m случаях, то вероятность события A равна Р(A) = m/n, т. е. отношению количества случаев, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех случаев. Из классического определения вероятности вытекают такие следствия. Вероятность достоверного события равна единице: P(U) = 1. 2. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(V) = 0. 3. Вероятность появления случайного события А при N испытаниях есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 Р(A) 1.

Элементы теории вероятностей Вероятность наступления некоторого события не может быть равна… 1. 1 2. 0, 5 3. 2 4. 0 q Из приведенных событий, событиями, вероятность наступления которых равна 1, являются… 1. «Закипание воды в чайнике при температуре +1000 С и выше» 2. «Наступление 32 июня» 3. «Выбор синего шара из урны с синими и красными шарами» 4. «Выбор синего шара из урны с синими шарами» q Игральный кубик бросают один раз. Вероятность того что на верхней грани выпадает число очков меньше чем шесть, равна. . 1. 1/6 2. 1/3 3. 2/3 4. 5/6 q

Элементы математической статистики При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1, 1, 4, 0, 1, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 1, 0, 2, 2, 3, 4, 1. Значения случайной величины х1, х2, …, хк называют вариантам. Последовательность вариантов, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом. Составим вариационный ряд: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Перечень вариантов и соответствующих им частот (количество раз встречающихся вариантов) или относительных частот (pi=n 1/n, где n – объем выборки) – статистическим рядом: Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид: Ряд распределения случайной дискретной величины должен удовлетворять следующим условиям: P (x)≥ 0;

q Задана таблица распределения случайной величины. Тогда значение С в таблице равно А) 0. 3 Б) 0. 4 В) 0. 5 Г) 0. 2 q В результате 10 опытов получена следующая выборка: 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 6 тогда для нее законом распределения будет А) Б) В) Г)

q В результате некоторого эксперимента получен статистический ряд: Тогда значение относительной частоты при x=10, будет равно А) 0, 2 Б) 0, 1 В) 0, 3 Г) 0, 5 q Задана таблица распределения случайной величины. Тогда значение С в таблице равно А) 0. 3 Б) 0. 4 В) 0. 5 Г) 0. 2 q Задана таблица распределения случайной величины. Тогда значение С в таблице равно А) 0. 3 Б) 0. 2 В) 0. 5 Г) 0. 4

Числовые характеристики случайной величины Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Математическое ожидание дискретной случайной величины x, имеющей распределение называется величина , если число значений случайной величины конечно. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания D(X) = M(X –М(Х))2.

Задача. Дискретная случайная величина Х, имеющая смысл числа курьеров, задействованных для доставки корреспонденции в коммерческой организации, задана законом распределения: Найти математическое ожидание, дисперсию. Решение. М( х) = х1 × р1 + х2 × р2 + х3 × р3 + х4 × р4 = 0 × 0, 4 + 1 × 0, 1 + 2 × 0, 3 + 3 × 0, 2 = 1, 3. Найдем дисперсию D(x). Предварительно найдем математическое ожидание от х2: М(х2) = х12 × р1+х22 × р2+х32 × р3+х42 × р4=02 × 0, 4+12 × 0, 1+22 × 0, 3+32 × 0, 2=3, 1. D(X) = 3, 1 – 1, 32 = 3, 1 – 1, 69 = 1, 41. q Дискретная случайная величина X имеет закон распределения вероятностей Математическое ожидание M(X) этой случайной величины равно. . А) 5 Б) 2, 2 В) 2, 8 Г) 1

Комбинаторика Размещения. Предположим, что имеется алфавит, включающий n элементов. Из этих элементов составляются mчленные комбинации (соединения), причем каждый из n элементов может входить в соединение не более одного раза. Например, из 32 букв русского алфавита можно составить двухбуквенные комбинации, не содержащие повторений букв. Размещения с повторениями. Снова возьмем алфавит из п элементов и будем составлять m-членные соединения, допуская повторения каждого элемента от 0 до m раз. Тогда общее число соединений, называемых размещениями с повторениями, находится по формуле Так, например, из 30 букв русского алфавита (исключая ь и ъ) можно составить 302 = 900 двухбуквенных серий (например, для денежных знаков) и 303 = 27 000 трехбуквенных серий.

Перестановка. Пусть размещения из п разных элементов взяты по п элементов, т. е. каждое размещение содержит все п элементов алфавита и отличается от других лишь порядком этих элементов. Такие размещения называются перестановками. Для нахождения числа перестановок используют формулу Pn = n! Для лечения заболевания применяют три лекарства. Сколько имеется различных порядков назначения этих лекарств? А) 3 Б) 9 В) 6 Г) 12 q Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5 (все цифры в числе разные)? А) 12 Б) 24 В) 4 Г) 16 q В слове «СТОЛ» меняют местами буквы. Тогда количество всех возможных различных «слов» равно А) 24 Б) 12 В) 6 Г) 32 q

Сочетания. В размещениях из n элементов по m соединения отличаются друг от друга либо элементами, либо их порядком, либо и элементами и их порядком. Объединим в отдельные группы такие комбинации, которые содержат т одинаковых элементов и отличаются друг от друга только порядком этих элементов. Нетрудно заметить, что в каждой группе будет ровно Рt элементов. Группы комбинаций, различающиеся только элементами, называются сочетаниями из п элементов по t. Их число равно q В лабораторной клетке содержат трех белых и трех коричневых мышей. Найти число способов выбора двух мышей, если они могут быть любого цвета. А) 6 Б) 9 В) 15 Г) 12 q Сколькими способами можно выбрать 4 человека из группы в 6 человек? А) 12 Б) 15 В) 24 Г) 32

Основы логики Отрицание. Операция отрицания соответствует в обычном языке частице не. Функция, получающаяся в результате применения операции отрицания к высказыванию x , обозначается так: . Логическое умножение (будем называть как в математической логике - конъюнкцией). Обозначается x 1 x 2. Операция конъюнкция соответствует в обычном языке частице и. Логическое сложение (дизъюнкция). Обозначается x 1 x 2. Означающий или то, или другое, или то и другое вместе.

Импликация. Обозначается x 1 x 2. Логически реализует связку естественной речи " если : то". Импликация определяется следующим образом Эквивалентностью двух высказываний x 1 и x 2 называется новое высказывание, Которое считается истинным, когда оба высказывания x 1 и x 2 либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным - во всех остальных случаях. Читается x 1 тогда и только тогда, когда x 2. Обозначается символом x 1 x 2

Измерение информации Единица измерения количества информации называется БИТ. 1 байт (b) = 8 бит Производные единицы измерения информации 1 килобайт, Kb (K) = 1024 b (210 b) 1 мегабайт, Mb (M) = 1024 Kb (210 Kb) = 220 b 1 гигабайт, Gb (G) = 1024 Mb (210 Мb) = 230 b Количество информации n, содержащееся в сообщении о том, что произошло одно из N равновероятных событий, определяется из решения показательного уравнения: 2^n = N = > i = log 2 N (формула Хартли ). q На столе лежат две лампы : одна качественная, другая некачественная. Наудачу взяли одну лампу и проверили ее. . В результате опыта получена информация объемом. .

Базовые алгоритмические конструкции