Математика Часть 2 УГТУ-УПИ 2007 г Лекция

Математика Часть 2 УГТУ-УПИ 2007 г.

Лекция 4 Комплексные числа 1. Комплекснозначная функция действительного аргумента. 2. Многочлены в комплексной области. 2

1. Комплекснозначная функция действительного аргумента. Определение. Если каждому действительному t ставится в соответствие комплексное число z, то z = z(t) называется комплекснозначной функцией действительного аргумента. В алгебраической форме 3

Так как соответствует вектору с координатами задание функции эквивалентно заданию вектор-функции скалярного аргумента. Отсюда, в частности, следует правило дифференцирования 4

Пример. - комплекснозначная функция действительного аргумента Решение. Действительно 5

2. Многочлены в комплексной области. Рассмотрим целый многочлен порядка n: Здесь заданные комплексные числа, z - комплексная переменная. Другой многочлен 6

Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов При при дробь называется правильной, - неправильной. 7

Пусть Также как в элементарной алгебре справедливо основное свойство деления: Здесь: - частное (целая часть дроби) - остаток - многочлены, 8

Если или ( деление нацело) Корни многочлена Определение. Корнем многочлена называется число , удовлетворяющее уравнению 9

В развернутом виде: *) Уравнение *) называется алгебраическим уравнением n-ой степени. Теорема Безу Т Остаток, получаемый при делении на (z-a), равен 10

Доказательство. По условию: По основному свойству: Пложим z = a, тогда 11

Следствие. Для того чтобы многочлен без остатка, делился на двучлен необходимо и достаточно, чтобы число z = a было корнем этого многочлена. Итак, если z = z 0 - корень многочлена Другие корни следует искать из уравнения и т. д. 12

Определение. Если где то называется корнем кратности k многочлена 13

Основная теорема алгебры Т Т 1 Многочлен n-ой степени имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Если коэффициенты уравнения *) действительные числа и корень уравнения *), то также корень *). 14

Таким образом, Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами появляются сопряженными парами. Из теоремы Безу и основной теоремы алгебры следует: Всякий многочлен разложить на множители можно 15

Здесь - корень кратности k 1, - корень кратности k 2, ……………. . Если коэффициенты - действительные числа, то объединяя скобки, соответствующие комплексно-сопряженным корням, можно представить этот многочлен в виде произведения множителей двух типов: 16

1. Линейный множитель - соответствует кратности ki, действительному корню zi 2. Квадратичный множитель где p, q - действительные числа, - соответствует паре комплексно-сопряженных корней кратности kj 17

Для доказательства последнего рассмотрим: Здесь: 18

Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами имеет разложение: где 19

Пример. Разложить на множители Решение. Действительных корней нет. Комплексные корни: 20

Пары сопряженные 21

Аналогично Окончательно 22