Математика Часть 1 УГТУ-УПИ 2006 г.

Математика Часть 1 УГТУ-УПИ 2006 г.

Лекция 6 1. Производные высших порядков. 2. Дифференциал функции. 3. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. 4. Дифференциалы высших порядков. 5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

1. Производные высших порядков. Производной второго порядка от функци называется производная от её первой производной. Обозначение:

Производной -го порядка называется производная первого порядка от производной -го порядка: Обозначение:

Механический смысл второй производной. Если - закон движения тела, то - скорость тела в данный момент времени. Тогда - ускорение равно второй производной от перемещения по времени.

2. Дифференциал функции. Пусть y = f(x) дифференцируемая на интервале (a, b) функция, тогда x (a, b) существует где при

Первое слагаемое - бесконечно малая одного порядка малости с Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, по сравнению с x:

Выражение называется дифференциалом функции f(x) в точке x.

Дифференциал - главная (линейная по ) часть приращения функции.

Дифференциал независимой переменной. Для функции y=x: dy = dx = x =1 = , а значит дифференциал dx совпадает с приращением:

С учётом этого дифференциал любой функции можно записать в виде: Следовательно, если аргумент функции является независимой переменной, её производную можно представить в виде отношения дифференциалов:

Геометрический смысл дифференциала. y = f(x) y M y T M y N x x+ x

Свойства дифференциалов:

3. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Рассмотрим Пусть фиксировано;

4. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом второго порядка функции f(x) в точке x называется дифференциал от первого дифференциала. Обозначение:

Точно также можно определить дифференциал любого порядка:

Формулы для дифференциалов высших порядков: Рассмотрим (Если x – независимая переменная, то dx от x не зависит и dx можно вынести за знак производной ).

Точно также вычисляется дифференциал n-го порядка (если x – независимая переменная) :

Основные теоремы о дифференцируемых 5. функциях. I. Теорема Ролля (о нуле производной) Т Если функция дифференцируема на отрезке [a, b] и на его концах принимает одинаковые значения f(a)=f(b) , то на этом отрезке найдётся точка x=c в которой её производная равна нулю:

Геометрический смысл. y a x c b (касательная параллельна оси ОХ)

II. Теорема Лагранжа. Т Если функция дифференцируема на отрезке [a, b], то на этом отрезке найдётся точка x=c такая, что

Геометрический смысл. y B A D a c b x (касательная параллельна прямой AB).

III. Теорема Коши. Т Если непрерывны на [a, b], на (a, b), на [a, b], на (a, b),

Тогда:

Замечание. Если (x) =x, - формула Коши переходит в формулу Лагранжа. Формулы Лагранжа и Ролля - частные случаи формулы Коши.

IV. Правило Лопиталя. Т Пусть функции f(x) и удовлетворяют условиям: непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x 0.

Тогда , если существует , то существует и , и эти пределы одинаковы:

Смысл. Правило Лопиталя раскрывает неопределённость Предел отношения бесконечно малых равен пределу отношения их производных. (При условии его существования).

Замечания. 1) Условие может выглядеть и так: 2) Правило Лопиталя применимо и для раскрытия неопределённостей вида 3) Правило Лопиталя можно применять несколько раз до тех пор, пока неопределенность не будет устранена.

Пример1 Пример2