Математика ч II Теория функций комплексного переменного Ткаченко

Математика ч. II Теория функций комплексного переменного Ткаченко Геннадий Григорьевич, к. ф. -м. н. , доцент 1

Библиографический список Основной: 1. Карпова Е. А. , Шабаева М. Б. «Теория функции комплексного переменного» . Учебное пособие. – С. -Пб. : СЗПИ, 2004. 2. Бугров Я. С. , Никольский С. М. , «Высшая математика» - М. : Наука, 1981. 2

Дополнительный: 1. Данко П. У. , Попов А. Г. , Кожевников Т. Я. «Высшая математика в упражнениях и задачах» . ч. 2 - М. : Высшая математика, 1980. 2. Краснов М. Л. , Киселев А. И. , Макаренко Г. И. «Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости» . - М. : Наука, 1981. 3

Кафедра информатики МАТЕМАТИКА ч. 2 Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Санкт-Петербург Издательство СЗТУ 2009 4

Раздел 4. БЛОК КОНТРОЛЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 4. 1. Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольные работы № 1 и № 2 Студенты всех специальностей разделены на три группы и выполняют задания двух контрольных работ в соответствии с таблицей, приведённой ниже (задания имеют сквозную нумерацию по обеим контрольным работам). *)Студенты специальности 190701 выполняют также два задания из УМК "Математика ч. 2 Методы оптимизации". Номера заданий указывает преподаватель. 5

Группа № Специальности № 140211, 140104, 150501, 190205, 200101, 220201 1 2 3 080502, 150104, 151001, 150202, 190601, 140601, 200402, 200501, 210106, 210302, 210101, 220301, 230101, 280202 190701*), 240401, 240301 Задания № 1 (интерполяция) 2 (корни уравнения) 5 (комплексные числа) 6 (производная ФКП) 7 (интегрирование ФКП) 8 (алгоритм Дейкстры) 9 (мат. логика) 1 (интерполяция) 2 (корни уравнения) 3 (численное интегрирование) 4 (метод Эйлера) 5 (комплексные числа) 6 (производная ФКП) 7 (интегрирование ФКП) 8 (алгоритм Дейкстры) 9 (мат. логика) 6

Комплексные числа Алгебраическая форма: z= a+bi i - мнимая единица: i 2=-1 a – вещественная часть ; a=Re z b - мнимая часть ; b=Im z 7

Точки плоскости и комплексные числа z = -1+2 i Re z = -1, Im z = 2 y 2 -1 0 x 8

Тригонометрическая форма 9

модуль комплексного числа - аргумент комплексного числа Надо различать аргумент и главное значение аргумента 10

11

1+i 1 -i -1 -i 12

Показательная форма Используя формулу Эйлера получим показательную форму 13

0 1 т. е. периодическая функция с периодом 2πi 14

1+i 0 1 1 -i 15

16

R 0 Дуга окружности радиуса R 17

0 18

Равенство комплексных чисел В алгебраической форме 19

В тригонометрической форме 20

Действия над комплексными числами Сумма, разность 21

22

2 1+i 2 1 -i 23

Произведение 24

∙ ∙ Число называется комплексно сопряженным числу z=a+ib b ∘ z a -b 25

1+i 2 26

Частное 27

Пример Найти частное 28

Умножение и деление в тригонометрической форме 29

Найти произведение и частное чисел 30

Умножение и деление в показательной форме 31

Пример 32

Пример -1+i Умножение на i – поворот против часовой стрелки на 0 33

Пример 1+i Деление на i – поворот по часовой стрелке на 0 1 -i 34

Возведение в степень в показательной форме 35

Пример Найти все корни уравнения 36

Извлечение корня из комплексного числа Комплексное число имеет ровно n корней 37

Пример 38

Функции комплексного переменного z 0 - фиксированное комплексное число; R>0 Множество всех точек комплексной плоскости z : |z-z 0|=R образуют окружность с центром в точке z 0 радиуса R ∙ z 0 39

Множество всех точек комплексной плоскости z : |z-z 0| < R образуют внутренность круга с центром в точке z 0 радиуса R. Множество всех точек комплексной плоскости z : |z-z 0| > R образуют внешность круга с центром в точке z 0 радиуса R. 40

Упражнение Найти центр и радиус круга 0 1 ∘ -1 41

Пусть D={z} и E={w} два множества комплексных чисел. Если существует правило f, которое любому z=x+iy из D сопоставляет одно или несколько значений w=u+iv из E, то это правило задает функцию комплексного переменного w=f(z) 42

v y w= f(z) E D 0 x 0 u Задание функции f(z) равносильно заданию двух вещественных функций u( x, y) , v( x, y) f( z)=u( x, y) +i v( x, y) u( x, y) = Re f( z) , v( x, y) = Im f( z) 43

Производная ФКП. Пусть w= f(z) определена в окрестности точки и : Если существует конечный предел то он называется производной f(z) в точке а функция f(z) называется дифференцируемой в точке 44

Пусть f(z) определена в окрестности Теорема. Для того, чтобы f(z) была дифференцируема в точке z 0=x 0 +iy 0 необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части u(x, y) и v(x, y) были дифференцируемы в точке (x 0, y 0) и удовлетворяли условиям Коши-Римана: 45

Выражения для производной ФКП через частные производные её вещественной и мнимой частей: 46

Пример Найти производную функции f(z)=z 2 Найдем вещественную и мнимую части 47

Заметим, что для функции Условия Коши-Римана не выполняются 48

Функция однозначная и дифференцируемая в каждой точке некоторой области называется регулярной в этой области. Функция, регулярная в окрестности некоторой точки, называется регулярной в этой точке. 49

Элементарные функции комплексного переменного Показательная функция z=x+iy т. е. вещественная и мнимая части 50

Проверим условия Коши-Римана: 51

Тригонометрические и гиперболические функции По определению комплексные косинус и синус определяются равенствами а гиперболические косинус и синус 52

Связь между тригонометрическими гиперболическими функциями : и 53

Логарифмическая функция Комплексное число w называется логарифмом комплексного числа z, если выполняется Здесь число k принимает значения 0, ± 1 , ± 2 , … –бесконечнозначная функция, она определена в каждой точке плоскости , кроме z=0 54

Пример Найти логарифм z = -4 |z|=4 , Arg z= - π+2πk Ln -4 = ln|-4|+π(2 k-1), k=0 k=1 k=2 -4 0 Ln (-4 )= ln 4 -πi, Ln (-4 )= ln 4+πi, Ln (-4) = ln 4+3πi 55

Пример Найти логарифм z=4 0 |z|=4 , Arg z= 2πk Ln -4 = ln|4|+2πk, k=0 k=1 k=2 4 Ln (4 )= ln 4, Ln (4 )= ln 4+2πi, Ln (4) = ln 4+4πi 56

Интеграл от ФКП. 57

Интеграл от ФКП можно выразить вещественные криволинейные интегралы. через Пусть 58

Интегральная теорема Коши. Пусть f(z) регулярна в односвязной ограниченной области D. Тогда интеграл вдоль любой замкнутой кривой равен нулю: y L 0 x 59

Степенным рядом по степеням называется ряд 60

Для любого степенного ряда доказывается существование радиуса сходимости R. Круг называется кругом сходимости степенного ряда 61

62

Теорема Пусть регулярна внутри круга Тогда внутри этого круга её можно единственным образом представить степенным рядом Функция, представимая в круге степенным рядом, называется аналитической. 63

Найдём ряды Тейлора для некоторых элементарных функций: 64

Ряд Лорана. Рядом Лорана называется выражение вида Главная часть Регулярная часть 65

Ряд Лорана называется сходящимся, если одновременно сходятся его главная и регулярная части. Если ряд Лорана сходится, то областью его сходимости является кольцо 66

67

Изолированные особые точки ФКП Точка называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) регулярна в некотором круге с исключённым центром и не регулярна в самой точке Рассмотрим виды изолированных точек. 68

Точка называется устранимой особой точкой функции f(z), если существует конечный предел Для того, чтобы была устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана в окрестности этой точки не содержал отрицательных степеней , 69

Особая точка если называется полюсом функции f(z), Для того, чтобы была полюсом f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности этой точки содержала конечное число членов, Максимальная степень m в главной части ряда Лорана называется порядком полюса. 70

Порядок полюса m=1, простой полюс Порядок полюса m=2 71

Особая точка называется существенно особой точкой функции f(z), если не существует. Для того, чтобы была существенно особой точкой f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов 72

Теорема Коши о вычетах Пусть функции f(z) имеет ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки Коэффициент в этом разложении называется вычетом функции f (z) в точке 73

74

Теорема. Если функция f(z) регулярна всюду в замкнутой области , за исключением внутренних точек то интеграл по границе L области положительном направлении обхода в 75

Вычисление вычетов Вычисление вычета в полюсе первого порядка. 1. Вычет функции f(z) в полюсе первого порядка z 0 2. Если функцию f(z) можно записать в виде отношения двух регулярных функций и z 0 - простой корень знаменателя ψ(z): ψ(z)=0, то 76

Пример Найти вычеты функции Полюсы этой функции - решения уравнения z 2+1=0 77

78

Заметим, что 79

2. Вычисление вычета в кратном полюсе. Вычет функции f(z) в полюсе порядка m 80

Пример Найти вычеты функции Полюсы этой функции - решения уравнения (z -1)2=0 81

82

Вычисление интегралов по теореме Коши Для вычисления интеграл по замкнутому контуру нужно 1) определить контур интегрирования на комплексной плоскости, указав положительное направление обхода контура; 2) найти особые изолированные точки внутри контура интегрирования, определить их тип и вычислить вычеты в этих точках; 3)вычислить интеграл по теореме Коши о вычетах. 83

Пример Вычислить интеграл 84

3 Контур интегрирования – окружность радиуса 1 и центром -i i 0 - -i ∘ 85

По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен 86

Контур интегрирования – окружность радиуса 1 и центром 1 i 0 -i ∘ 87