Математична логіка Логіка наука про закони мислення

Математична логіка Логіка – наука про закони мислення. Математична логіка – наука про закони математичного мислення. Предмет МЛ – математичні теорії в цілому, які вивчаються за допомогою логіко-математичних мов. • Стосовно загальносвітоглядного аспекту, поняття і методи МЛ дають обгрунтування правильності тих чи інших способів отримання істинного знання. • Стосовно прагматичного аспекту, апарат МЛ належить до основних засобів моделювання різноманітних ПО, він є основою сучасних інформаційних систем. 1

Логіка як теоретична наука зародилась в давній Греції в 6 ст. до н. е. Софізм – нібито правильне міркування, які містить навмисну, але замасковану помилку. • Софізм "сидячий": Сидячий встав. Хто встав, той стоїть. Отже, сидячий стоїть. • Софізм "накритий": Чи знаєш ти цього накритого чоловіка, що спить під стіною? Не знаю. Але це ж твій батько! Отже, ти не знаєш свого батька. • Софізм "рогатий": Те що ти не втратив, ти маєш. Ти не втратив роги. Отже, ти рогатий. 2

Паралогізми – некоректні міркування із ненавмисним порушенням логічних законів. Якщо через дріт пропускають електричний струм, то дріт нагрівається. Дріт нагрівається. Отже, через дріт пропускають електричний струм. Точну грань між софізмами і паралогізмами провести важко. – Усі студенти здають іспити. Микола здає іспити. Отже, Микола – студент. – Ссавці населяють сушу й океани. Миші – ссавці. Отже, миші населяють сушу й океани. Поширення софізмів вимагало точного формулювання принципів і правил логічних міркувань. Це зумовило зародження логіки як науки про закони мислення. 3

Фалес Мілетський (625– 547 р. до н. е. ): – діаметр ділить коло навпіл – кути при основі рівнобедренного трикутника рівні Принципово новим було те, що для цих тверджень пропонувалось чисто логічне доведення. Піфагор (570– 500 р. до н. е. ): довів існування ірраціональних чисел. Платон (427– 347 р. до н. е. ) розвинув загальні принципи логічних міркувань. 4

Арістотель (384– 322 р. до н. е. ) – основоположник логіки як цілісної науки: • чітко сформулював три основні закони традиційної логіки • розробив закони логічного виведення • запропонував аксіоматичний метод • створив першу формально-аксіоматичну систему логіки – силогістику • заклав основи модальної логіки. Формальна логіка вивчає акти мислення (поняття, судження, умовиводи, доведення) тільки з огляду їх форми, логічної структури, абстрагуючись від конкретного змісту. 5

Наступний принциповий крок в розвитку логіки—Г. Лейбніц (1646– 1716): ідея створення універсального логічного числення. Дж. Буль (1815– 1864) – перша система математичної логіки (алгебра логіки), вона базується на строгій логікоматематичній мові. Математична логіка – це формальна логіка, що використовує математичні методи. Розвиток МЛ в 19 ст. : А. де Морган (1806– 1873), Е. Шредер (1845– 1902), П. Порецький (1846– 1907), Ч. Пірс (1839– 1914). Ґ. Фреґе (1848– 1925): ввів поняття предикату і кванторів, розвинув логіко-математичні мови і теорію їх смислу Дж. Пеано (1858– 1932): виклад цілих розділів математики на мові МЛ та аксіоматизація арифметики Ґ. Фреґе, Б. Рассел (1872– 1970): спроба зведення всієї математики до логіки. Привела до створення багатого логічного апарату, оформлення МЛ як повноцінного розділу математики. 6

На межі 19– 20 ст. відкриті парадокси в теорії множин. Парадокс – це логічно правильне міркування, яке веде до взаємовиключних висновків. Парадокси не порушують законів формальної логіки! Парадокс брехуна: Я брешу. Парадокс критянина (парадокс Епіменіда) – форма парадоксу брехуна. Згаданий в "Посланні до Тита св. Апостола Павла". Сказав один з них, власний пророк їхній: Крітяни завжди брехливі, звірі погані, черева ледачі Парадокс Буралі-Форті (1897) Парадокс Кантора (1899) 7

Парадокс Рассела (1906). Множина нормальна, якщо вона не є елементом самої себе. Ненормальні множини: – множина усіх абстрактних понять є абстрактним поняттям – множина усіх множин. S – множина усіх нормальних множин: S = {A | A A} A S A A. Звідси S S ! Парадокс цирульника. В одному містечку цирульник мусить голити всіх тих і тільки тих чоловіків містечка, хто не голиться сам. Чи може цирульник голити себе? 8

Парадокс Беррі. Деякі речення є визначеннями натуральних чисел: "парне просте число", "сто в двадцятій степені " Існують натуральні числа (їх множина нескінченна), які не можуть бути визначені реченнями української мови, що мають менше ста букв. Серед них є найменше, його можна визначити реченням "Найменше натуральне число, яке не можна визначити реченням української мови, що має менше ста букв". Але ж тут 98 букв! 9

Парадокс Греллінга. Автологічні прикметники: мають ту ж властивість, яку називають ("багатоскладовий", "український"). Гетерологічні прикметники: не мають тієї властивості, яку називають ("колючий", "солоний", "зелений"). Прикметник "гетерологічний": автологічний чи гетерологічний? 10

Шляхи виходу із кризи математики Л. Брауер (1881– 1966) висунув інтуїціоністську програму: відмова від актуальної нескінченності та закону виключеного третього; в математиці допустимі тільки конструктивні доведення. 11

Д. Гільберт (1862– 1943) висунув програму обгрунтування математики на базі МЛ: побудова формально-аксіоматичних моделей основних розділів математики та подальше доведення їх несуперечливості надійними, інтуїтивно переконливими (фінітними) засобами Несуперечливість: неможливість одночасного виведення деякого твердження та його заперечення. 12

Математичні теорії стають предметом вивчення нової математичної науки – теорії доведень, або (Д. Гільберт) метаматематики. Розробка Д. Гільбертом та його учнями теорії доведень на базі розвинутої Ґ. Фреґе та Б. Расселом логічної мови означала становлення МЛ як самостійної математичної дисципліни. 13

Теореми К. Ґьоделя (1906– 1978) про неповноту засвідчують принципову обмеженість формально-аксіоматичного методу. К. Ґьодель показав: Кожна достатньо багата несуперечлива формальна теорія неповна, тобто існують записані мовою теорії твердження, які не можна ні довести, ні спростувати. При цьому несуперечливість такої теорії не може бути доведена засобами самої теорії. Приклад такої теорії: формальна арифметика 14

Базові поняття МЛ Поняття числення відбиває інтуїтивну уяву про індуктивне породження об’єктів, яке широко поширене в математиці. • Числення– скінченна множина точно визначених породжувальних правил (правил виведення), які дозволяють із певних заданих об’єктів отримувати інші об’єкти. • Засновки – об’єкти, до яких застосовуються ПВ. • Висновок – отриманий із засновків об’єкт. 15

Множину породжених численням об’єктів задають індуктивно. Перший крок процесу породження: початкові об’єкти задаються ПВ із порожньою множиною засновків. Об’єкт породжений на певному кроці, якщо він отримується за допомогою певного ПВ із об’єктів, породжених на попередніх кроках. Числення з входом: на першому кроці породження беремо початкові об’єкти із певної множини А 16

Визначне досягнення МЛ – розробка і дослідження формальних моделей алгоритму та алгоритмічно обчислюваної функції. Алгоритм – скінченна множинa точно визначених правил для чисто механічного розв’язку задач певного класу. Характерні властивості алгоритму: • Фінітність • Масовість • Дискретність • Елементарність • Результативність • Детермінованість 17

Специфіка правил алгоритму та числення: – правила алгоритму однозначно визначають перехід від одних об’єктів до інших, – правила числення дозволяють робити такі переходи. Для опису алгоритму вказуємо: – множину його початкових (вхідних) даних – множину вихідних даних, до яких належать результати роботи алгоритму. 18

За допомогою алгоритму кожний конкретний результат отримується за скінченну кількість кроків із скінченної множини вхідних даних. До таких даних алгоритм застосовний. В деяких ситуаціях процес виконання алгоритму для певних вхідних даних продовжується необмежено. До таких даних алгоритм незастосовний. Кожний алгоритм із множиною вхідних даних X та вихідних Y визначає часткову функцію f : Х→Y. Якщо застосовний до d, то значення f(d) рівне (d). Якщо незастосовний до d, то f(d) невизначене. Такий алгоритм обчислює функцію f. 19

Функція алгоритмічно обчислювана (АОФ), якщо існує алгоритм, який її обчислює. Множина L алгоритмічно перелічна, якщо L є множиною значень деякої АОФ, тобто існує алгоритм, який перелічує елементи множини L і тільки їх. Множина L алгоритмічно розв'язна відносно множини U, якщо існує алгоритм, який дозволяє для кожного x U визначати, x L чи x L. 20

Відносний алгоритм (алгоритм з оракулом): на деяких кроках може звертатися до зовнішнього відносно алгоритму об’єкту – оракула. Видані оракулом відповіді –це дані, вироблені на таких кроках звертання. Функція алгоритмічно обчислювана відносно оракула , якщо існує алгоритм з оракулом , який її обчислює. 21

Зв’язок алгоритмів та числень Поняття алгоритму можна звести до поняття числення в смислі зведення алгоритмічного процесу до процесу породження: кожний алгоритм можна трактувати як числення з такими ПВ, що виконання кожного із них відповідає виконанню одного кроку алгоритму. Поняття числення можна звести до поняття алгоритму в смислі зведення розгалуженого процесу породження до послідовного процесу переліку так, щоб алгоритм переліку відтворив усі породжені численням об’єкти і тільки їх. 22

Теорія алгоритмів – розділ математики, що вивчає загальні властивості алгоритмів. Усвідомлення неможливості існування алгоритмів розв’язку низки масових проблем необхідність математичного уточнення поняття алгоритму. Після сформування поняття алгоритму як нової та окремої сутності першочерговою стала проблема знаходження адекватних формальних моделей алгоритму та дослідження їх властивостей – моделі для первісного поняття алгоритму (машини Тьюрінга, регістрові машини, нормальні алгоритми Маркова) – моделі для похідного поняття АОФ ( -означувані функції, частково рекурсивні функції та ін. ). 23

Доведено: кожна з відомих моделей задає (з точністю до кодування) один і той же клас функцій. Тому є всі підстави вважати, що кожна з таких моделей дає строге математичне уточнення інтуїтивного поняття АОФ. Таке твердження стосовно АОФ та строго визначеного класу частково рекурсивних функцій – теза Чорча (А. Чорч, 1936). 24

Ідея Г. Лейбніца створення універсального логічного числення втілена в теорії доведень. Теорія доведень – розділ МЛ, який вивчає поняття доведення в математиці та його застосування. Створення і розвиток теорія доведень: Д. Гільберт, Ґ. Ґенцен, В. Аккерман, П. Бернайс. Алгоритмічна нерозв'язність проблеми вcюди істинності формул логіки предикатів 1 -го порядку (А. Чорч, А. Тьюрінг) робить в принципі неможливим існування універсальної процедури пошуку доведень. Проте, існують алгоритми, які дозволяють знайти доведення формули, якщо вона всюди істинна. Якщо ж формула не всюди істинна, такі алгоритми можуть роботу не завершувати. 25

Дуже важливе застосування МЛ – автоматизація пошуку доведень (задачі подання знань і роботи з ними в БД і БЗ, задачі логічного програмування і дедуктивних баз даних). Методи пошуку доведень: – секвенційні числення, запропоновані Ґ. Ґенценом (1909– 1945) – метод семантичних таблиць (Е. Бет) – метод натурального виведення (Ґ. Ґенцен) – метод резолюцій (Дж. A. Робінсон, 1969). 26

Предикати, висловлення Основним поняттям логіки з семантичної точки зору є поняття предикату. З цим поняттям тісно пов’язане поняття висловлення. Висловлення – речення, яке можна розглядати з точки зору його iстинностi чи хибностi. Суб’єкт (суб’єкти) – те, про кого або про що говориться у висловленні. Предикат виражає властивості суб’єкту (суб’єктів) та відношення між суб’єктами. Приклад. Предикат “x – є простим числом” стає висловленням: – “ 5 є простим числом”, якщо значенням імені х є число 5. – “ 4 є простим числом”, якщо значенням х є число 4. 27

Дане – це множина пар імен суб’єктів та їх значень. Висловлення є значенням предикату на конкретному даному. Приклад. Застосуємо предикат “якщо х>y та y>z, то х>z” до даного [х 17, y 11, z 3] дістанемо висловлення “якщо 17>11 та 11>3, то 17>3”. Висловлення може приймати одне з двох істиннісних значень – Т або F, тому предикат уточнимо як функцію, що конкретним іменованим суб’єктам ставить у відповідність значення Т або F. 28

Предикат на множині A – це довільна часткова функцію вигляду P: A Bool, де Bool={T, F}. Предикат P на А (частково) істинний, або неспростовний, якщо для довільних a A P(a)=T. Предикат P на А тотально істинний, якщо P(a)=T для довільних a A. Предикат P на А виконуваний, якщо існує а A: P(а) =T. Область iстинностi та область хибності предикату Р на А: Т(P) = {d A P(d)=T} та F(P) = {d A P(d)=F} Якщо Р тотальний, то Т(P) F(P) = А С: Fnn Fn – n-арна композиція на мн-ні функцій Fn 29

Поняття логіки уточнимо через поняття логічної системи Логічна система – це об'єкт (М, , I, |= , |–) • М – моделі логіки (світи розгляду) • – дескрипції (засоби опису світів, формули) • I – відношення денотації (інтерпретації) дескрипцій на моделях • |= – відношення семантичної істинності на мн-ні дескрипцій • |– – відношення вивідності на мн-ні дескрипцій 30

Побудова логічних систем – на основі єдиного для логіки та програмування композиційно-номінативного підходу Згідно з КНП логіки будуються в семантико-синтаксичному стилі. – спочатку фіксується рівень абстракції розгляду ПО (неформально фіксується інтенсіональна модель світу) – потім будуються відповідні до розглянутого рівня абстракції математичні моделі ПО – предикатні композиційно-номінативні системи. Такі системи задають семантичні аспекти КНЛ – далі будуються відповідні формально-аксіоматичні числення, що задають синтаксичні аспекти логік 31

Семантичні моделі логіки задаємо композиційними сист-ми дескрипції – дескриптивними системами відношення денотації (інтерпретації) – денотаційними. Для задання відношення вивідності найчастіше використовуються формально-аксіоматичні числення гільбертівського типу й числення ґенценівського типу (секвенційні числення). Композиційні системи визначають засоби побудови функцій і предикатів над деякою множиною даних. Дескриптивні системи задають дескрипції, що є описами функцій і предикатів. Денотаційні системи задають денотати (значення) дескрипцій. 32

Під композиційною системою розуміємо трійку (D, Fn, C). • D – множина даних • Fn – множина функцій і предикатів над D • С – множина композицій (операцій) над Fn КС задає дві алгебри: – композиційна алгебра (Fn, C) – алгебра (алгебраїчна система) даних (D, Fn). Алгебра (АС) – це множина даних із заданими на ній функціями і предикатами Дескриптивні системи задають синтаксис мови логіки Дескрипціями є терми та формули 33

Композиційно-номінативна система – це (Сs, Dns) • Сs – композиційна система • Ds – дескриптивна система • Dns – денотаційна системп Поняття КНС – спільне для логіки та програмування Поняття програми адекватно уточнюється за допомогою відповідних КНС Відношення |= уточнюється за допомогою поняття істинного предиката Відношення |– уточнимо, вводячи аксіоми та правила виведення, за допомогою поняття формальної системи Фундаментальні властивості логіки: – несуперечливість |– |= – повнота |= |– 34

Формальна система (ФС): (L, A, P) • L – мова • A – множина аксіом • P – множина правил виведення Слова мови – формули. Кожна аксіома є формулою. ПВ мають вигляд Р 1, Р 2 , . . . , Рп |- Р, де Р 1, Р 2 , . . . , Рп – засновки, Р – висновок. Теорема – формула, отримана із аксіом за доп-ю ПВ Виведення – скінченна послідовність формул 1, . . . , т : кожна із цих формул або аксіома, або отримана із попередніх за допомогою деякого ПВ 35

Основні закони традиційної логіки Класична МЛ опирається на 4 основні закони традиційної логіки. • Закон тотожності • Закон несуперечливості • Закон виключеного третього (Арістотель) • Закон достатньої підстави (Г. Лейбніц ) 36

Закон тотожності в загальному вигляді: В процесі одного і того ж міркування використовувані поняття не повинні змінюватись Це засвідчує фундаментальну роль закону тотожності для організації мислення людини В спрощеному вигляді: А суть А Математичне формулювання: А А. Закон несуперечливості : Обидва твердження А та А не можуть виконуватися одночасно Інколи називають законом суперечливості (lex contradictionis). Математичне формулювання: (А А). 37

Закон виключеного третього: Обидва твердження А та А не можуть заперечуватися одночасно Сильна форма (tertium non datur) Одне з тверджень А чи А істинне Математичне формулювання: А А. Закон достатньої підстави: Жодне твердження не може прийматися без достатніх підстав Прийняття ЗДП відокремлює логіку точних наук від змістовної логіки. ЗДП не має математичного формулювання. 38

Основна література 1. Клини С. Математическая логика. – М. : Наука, 1973. 2. Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. – М. , 1983. 3. Лавров И. А. , Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М. , 1975. 4. Лісовик Л. П. , Шкільняк С. С. Теорія алгоритмів. – К. , 2003. 5. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. – М. , 1965. 6. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М. , 1976. 7. Нікітченко М. С. , Шкільняк С. С. Математична логіка та теорія алгоритмів. – К. , 2008. 8. Нікітченко М. С. , Шкільняк С. С. Основи математичної логіки. – К. , 2006 9. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. – М. , 1972 10. Шкільняк С. С. Теорія алгоритмів: приклади і задачі. – К. , 2003. 11. Шкільняк С. С. Математична логіка: приклади і задачі. – К. , 2007. 39

Додаткова література 1. Д. Гильберт, П. Бернайс. Основания математики. Т. 1, Т. 2. – М. , 1982. 2. Глушков В. М. , Цейтлин Г. Е. , Ющенко Е. Л. Алгебра, языки, программирование. – К. , 1974. 3 Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин. Математическая логика. – М. , 1979. 4. Ю. В. Капітонова, С. Л. Кривий, О. А. Летичевський, Г. М. Луцький, М. К. Печурін. Основи дискретної математики. – К. , 2002. 5. Лисовик Л. П. , Редько В. Н. Алгоритмы и формальные системы. – К. , 1981. 6. Мальцев А. И. . Алгебраические системы. – М. , 1970. 7. Манин Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. – М. , 1979. 8. Манин Ю. И. Вычислимое и невычислимое. – М. , 1980. 9. Непейвода Н. Н. . Прикладная логика. – Новосибирск: НГУ, 2000. 10. Семантика модальных и интенсиональных логик. – M. , 1981. 11. Справочная книга по математической логике (под ред. Дж. Барвайса). Ч. 1– 4. – М. , 1982– 1983. 12. Такеути Г. Теория доказательств. – М. , 1978. 13. Успенский В. А. , Семенов А. Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. – М. , 1987. 14. Р. Фейс. Модальная логика. – M. , 1974. 15. Ч. Чень, Р. Ли. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. – М. , 1983. 16. Шенфилд Дж. Математическая логика. – М. : Наука, 1975. 40

Вправи Проаналізуйте наступні міркування. Якщо вони некоректні, то які закони логіки порушують? 1) Якщо ти їси менше, то голоднішаєш. Якщо ти голоднішаєш, то їси більше. Отже, якщо ти їси менше, то їси більше 2) Той, хто хоче щось вивчити, цього не знає. Незнаючий – невіглас. Отже, тільки невігласи хочуть вчитись 3) Студенти, який хочуть вчитися, вчаться і без заохочення. Студентів, які не хочуть вчитися, заохочувати марно. Отже, студентів заохочувати не потрібно 4) Сіль та цукор білі. Ніщо не може бути одночасно цукром і сіллю. Отже, ніщо не може бути білим 41

Вправи (далі) 5) Злодій не хоче брати щось погане. Надбання доброго – добра справа. Отже, злодій робить добру справу (античний софізм). 6) Вчитель завжди хоче, щоб його учень став мудрим і перестав бути невігласом. Таким чином, він хоче, щоб його учень став тим, чим він не є, та перестав бути тим, чим він є. Отже, він хоче перевести його із буття в небуття, тобто знищити (античний софізм). 7) Якщо тобі холодно, ти тепло вдягаєшся. Якщо тепло вдягнутися, то стане гаряче. Якщо тобі гаряче, ти роздягаєшся. Отже, якщо тобі холодно, ти роздягаєшся. 42