Математическое введение _ 1 1. Общие свойства векторов Вектор – объект, характеризуемый величиной и направлением. Геометрический образ вектора направленный отрезок, изображаемый стрелкой Любую точку 3 -х мерного евклидова x 3 x 2 O r' x 1 r ( , , ) r пространства, можно охарактеризовать радиус-вектором r, проведенным в рассматриваемую точку из некоторого общего центра O Она лежит в пересечении 3 -x непараллельных числовых осей x 1, x 2, x 3 с произвольными, вообще говоря, направлениями и масштабами, но совпадающими началами отсчета – сливающимися в точку O. Такого рода совокупность числовых осей составляет аффинную систему координат. , , аффинные координаты (от гр. affinis – смежный, соседний)
Существует 4 основных операций над векторами: +, , и Операции деления вектора на вектор не существует (исключена из-за неоднозначности результата) C a b a 1 a 2 a 3 c b ? Какое именно значение даже при строго заданном b следует взять C/b a Векторы, образующиеся в результате векторного произведения – аксиальные. В отличие от истинных (полярных) векторов не имеют определенного начала. Их можно перемещать вдоль оси. Другое отличие полярных и аксиальных векторов: при отражении в зеркале полярный вектор меняет свое направление на противоположное. Аксиальный вектор при зеркальном отражении направления не меняет.
, , Каждую координатную ось принято сопровождать единичным вектором ортом ei (i 1, 2, 3). В соответствии с правилом сложения векторов радиус-вектор r ( , , ) можно представить как сумму векторов x 3 e 3 , x 2 e 2 , x 1 e 1 Этот результат имеет универсальный характер и означает, что любой вектор можно разложить по совокупности единичных векторов системы координат, называемых базисом. Чтобы иметь возможность решения векторных уравнений r a m, r a b (в некотором роде это подразумевает выполнение действий, аналогичных по результату делению), используется концепция базисной взаимности векторных величин. Условие взаимности базисов дает связи Формулы для выражения ортов взаимного базиса через орты прямого базиса и наоборот i. j, k и l, m, n меняются циклической подстановкой
2 типа базисов двум различным видам разложений одного и того же вектора в этих базисах. Переобозначая координаты радиусвектора : x 1, x 2, x 3, имеем . Этот же вектор во взаимном базисе e 1, e 2, e 3 выглядит x 2 xi контравариантные, xi – ковариантные компоненты радиус-вектора x 2 e 2 O r e 1 x 1 e 1 Аффинные взаимные (e 2 e 1, e 1 e 2) cистемы координат на плоскости; ковариантные x 1, 2 и контравариантные x 1, 2 компоненты радиус-вектора r. x 1
2. Дифференциальные операции над векторами. Теоремы Гаусса и Стокса 1) Производная по направлению Геометрически скалярное поле r характеризуют изоповерхностями r const Непересечение изоповерхностей выражает однозначность поля. В областях сближения изоповерхностей происходит наиболее быстрое изменение в поперечном направлении Возникает необходимость локальной оценки быстроты изменения поля нормально к изоповерхностям. В векторном анализе для этого Картина изоповерхностей используется специальный скалярного поля дифференциальный оператор градиент
Градиент мера неоднородности скалярного поля В декартовой системе координат знак опускается Максимально быстро поле изменяется по направлению grad , т. е. по нормали к изоповерхности в сторону увеличения
Общее определение градиента не зависящее от выбора системы координат 2) Дивергенция Геометрически структуру векторного поля A(r) задают векторные линии (линии тока – гидродинамика, силовые линии электрического поля и т. д. ) Густота векторных линий показывает качественно интенсивность поля Чтобы строго судить об интенсивности (мощности) поля локально в данной точке требуется знание дифференциальной характеристики дивергенции (от лат. divergentia расходимость) поля div. A. Мощность поля должна зависеть от действия источников и стоков поля. Поэтому дивергенция поля это скалярная величина, выражающая локально распределение источников/стоков поля.
В декартовых координатах Знак по умолчанию опускается ( правило Эйнштейна) Применение оператора набла (символический векторнодифференциальный оператор) к векторному полю A сводится к скалярному умножению. Общее определение дивергенции, не зависящее от выбора системы координат
2) Ротор (вихрь) векторного поля В случае вихревого поля A(r) векторные линии замкнуты – источники и стоки поля отсутствуют. Использование дивергенции становится невозможным и для локальной характеристики поля, выражающей степень его завихренности, применяется другая величина – ротор. В отличие от дивергенции ротор векторная величина, причем аксиального типа В декартовых координатах
Общее определение ротора, не зависящее от выбора системы координат S Теорема Гаусса S Теорема Стокса L V
Скачать презентацию Математическое введение _ 1 1 Общие свойства векторов
Классическая электродинамика. Математическое введение_1.ppt