Математическое планирование эксперимента Оценка погрешностей функций приближенных аргументов

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Измерения делят на прямые и косвенные. В первом случае непосредственно измеряется определяемая величина, при косвенных измерениях она задается некоторой функцией от непосредственно измеряемых величин. Подавляющее большинство физико-химических свойств веществ и параметров процессов определяются в результате косвенных измерений, погрешность которых зависит от погрешностей непосредственно измеряемых величин, использованных в расчетах.

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Предположим, что некоторые величины X 1, X 2, …, Хn измерены с абсолютными погрешностями Δх1, Δх2, …, Δхn и что измеренные значения используются для вычисления функции Z = f (X 1, X 2, …, Хn).

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Погрешности приближенных аргументов должны привести к погрешности в значении искомой функции, что можно записать в следующем виде: Z + Δz = f (X 1 + Δx 1, X 2 + Δx 2 , . . . , Xn + Δxn), где Δz — абсолютная погрешность функции Z.

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Разложим данную функцию в ряд Тейлора: Z + Δz = f (X 1, X 2 , . . . , Xn ) +

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Если предположить, что измерения достаточно точны, так что величины Δхi малы по сравнению со значениями аргументов Xi, то можно отбросить все члены, содержащие абсолютные погрешности аргументов во второй и высшей степенях. Тогда Z + Δz ≈ f (X 1, X 2 , . . . , Xn ) +

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Отсюда получим: Δz ≈

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Выражение для предельной абсолютной погрешности функции n переменных запишется в следующем виде:

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Таким образом предельная абсолютная погрешность функции независимых переменных равна сумме частных производных этой функции, умноженных на соответствующие абсолютные погрешности аргументов. В практических расчетах значения частных производных берутся в точках, соответствующих измеренным значениям хi или средним арифметическим xi , если проводились серии измерений.

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов В математической статистике также доказывается, что если абсолютные погрешности аргументов независимы и случайны, то наилучшей оценкой погрешности функции будет квадратичная сумма ее частных производных, умноженных на соответствующие погрешности аргументов:

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Данные формулы являются основными практических расчетах. Из них можно вывести формулы для расчетов погрешностей косвенных измерений для некоторых частных случаев, использование которых на практике бывает более удобным.

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Измеренная величина умножается на точное число. Если величина X измерена с погрешностью Δх и используется для вычисления Z = BX, в котором В — точное число, то абсолютная погрешность в Z равна IΔz. I = IBI ⋅ IΔx. I. 1.

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов 2. Погрешность в суммах и разностях. Если величины X 1, X 2, …, Хn измерены с малыми погрешностями Δх1, Δх2, …, Δхn и измеренные значения используются для вычисления функции Z = (X 1 + … + Хm) – (Хk + …+ Хn), а погрешности аргументов независимы и случайны, то погрешность в Z равна квадратичной сумме исходных погрешностей:

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов 3. Погрешности в произведениях и частных. Если величины X 1, X 2, …, Хn измерены с малыми погрешностямиΔх1, Δх2, …, Δхn и измеренные значения используются для вычисления функции

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов а погрешности аргументов независимы и случайны, то относительная погрешность в Z равна квадратичной сумме исходных относительных погрешностей:

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Относительная погрешность в Z никогда не больше, чем обычная сумма исходных относительных погрешностей

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов 4. Погрешность в произвольной функции одной переменной. Если величина X измерена с погрешностью Δх и используется для вычисления функции Z = f (X), то абсолютная погрешность в Z равна

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов 5. Погрешность в степенной функции. Если величина X измерена с погрешностью Δх и используется для вычисления степенной функции Z = Xm (где m — фиксированное известное число), относительная погрешность в Z в Im. I раз больше, чем в Х:

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Любой расчет может быть представлен как последовательность определенных шагов, каждый из которых включает один из следующих видов операций: 1) нахождение сумм и разностей, 2) расчет произведений и частных, 3) вычисление функции одного переменного (данный метод называют «шаг за шагом» ).

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов Однако в случае когда выражение для вычисления функции Z включает одну и ту же величину более чем один раз (например, дважды Х 1), то некоторые из ошибок могут взаимно компенсироваться и в результате расчет ошибки методом «шаг за шагом» может привести к переоценке конечной погрешности. Поэтому в подобных случаях рекомендуется пользоваться общими формулами.

Вопросы к зачету 1. Прямые и косвенные измерения. Оценка погрешностей функций приближенных аргументов. Общая расчетная зависимость. Частные случаи.