Математическое планирование эксперимента Метод максимального правдоподобия
Метод максимального правдоподобия Для получения точечных оценок используют различные методы. Широко применяется метод максимального правдоподобия. Сущность метода заключается в нахождении таких оценок неизвестных параметров, для которых функция правдоподобия при случайной выборке объема n будет иметь максимальное значение.
Метод максимального правдоподобия Пусть плотность распределения случайной величины Х задается функцией f (x, a), где а — неизвестный параметр, входящий в выражение закона распределения. На опыте получена выборка значений х1, х2, …, хn. Окружим каждую точку хi окрестностью длины δ. Тогда вероятность попадания в интервал с границами (хi - δ/2), (хi + δ / 2) приближенно равна f (x, a) δ.
Метод максимального правдоподобия Если произведено n наблюдений, то вероятность того, что одновременно первое наблюдение попадет в первый интервал, второе — во второй и т. д. , есть вероятность совместного осуществления всех этих независимых событий и равна
Метод максимального правдоподобия Так как событие с вероятностью Р осуществилось на самом деле при первом же испытании, то естественно предположить, что ему соответствует максимальная вероятность. Поэтому в качестве оценки следует взять то значение а* из области допустимых значений параметра а, для которого эта вероятность принимает наибольшее возможное значение, т. е. корень уравнения
Метод максимального правдоподобия Достаточным условием максимума при этом является выполнение неравенства
Метод максимального правдоподобия Решение проще получить, если перейти к функции правдоподобия:
Метод максимального правдоподобия Вероятность Р и функция L имеют максимумы при одних и тех же значениях определяемых параметров, так как
Метод максимального правдоподобия Если требуется оценить одновременно несколько параметров одномерного или многомерного распределения, формулировка принципа максимального правдоподобия сохранится. В этом случае надо найти такую совокупность допустимых значений параметров а 1*, а 2*, …, аk*, которая обращает функцию правдоподобия в максимум.
Метод максимального правдоподобия Найдем методом максимального правдоподобия оценку параметра λ показательного распределения с плотностью f (x) = λ exp(−λx), 0 ≤ x < ∞ по выборке х1, х2, …, хn.
Метод максимального правдоподобия Функция правдоподобия примет следующий вид:
Метод максимального правдоподобия Тогда Где — среднее выборки
Вопросы к зачету 1. Метод максимального правдоподобия
Скачать презентацию Математическое планирование эксперимента Метод максимального правдоподобия Метод
7.Метод макс. правдопод..ppt