Математическое ожидание дискретной случайной величины Пусть — дискретная

Математическое ожидание дискретной случайной величины Пусть - дискретная случайная величина с рядом распределения ξ x 1 x 2 … xn pi p 1 p 2 … pn Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число M( ) = x 1 p 1 +x 2 p 2 +… xn pn 1

Пример Найдем математическое ожидание числа очков при одном подбрасывании правильного кубика. ξ p 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1 2 3 ∘ 4 5 6 2

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины Пусть случайная величина имеет плотность распределения вероятности f(x). , Математическим ожиданием M( ) случайной величины называется если этот несобственный интеграл сходится абсолютно. В противном случае математическое ожидание не существует. 3 3

Свойства математического ожидания. 1. Если случайная величина принимает только одно значение =C, то M(C)=C. 2. Свойство линейности. При сложении случайных величин их математические ожидания складываются т. е. M( + )=M( )+M( ). В частности, M( +C)=M( )+C. 3. Если случайные величины , независимы, то M( )=M( ). В частности, M(C )=CM( ) 4

Пример. Подбрасывают два кубика. Обозначим ξ - число очков на первом кубике, η - число очков на втором кубике. 5 5

Момент второго порядка Моментом второго порядка M(ξ 2) случайной величины называется математическое ожидание квадрата этой случайной величины. ξ x 1 x 2 … xn pi p 1 p 2 … pn 6 6

Дисперсия случайной величины Математического ожидания определяет среднее значение случайной величины. Дисперсия определяет среднюю величину отклонения случайной величины от математического ожидания. 7

Величина - M( ) определяет отклонение случайной величины от математического ожидания M( ). Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата случайной величины - M( ): D( )=M[ - M( )]2 8

Квадратный корень из дисперсии называют стандартным или среднеквадратическим отклонением Формулы для вычисления дисперсии дискретной и абсолютно величин непрерывной случайных 9

Свойства дисперсии 1. Для любой случайной величины D( ) ≥ 0. 2. При умножении случайной величины на постоянное число С дисперсия умножается на квадрат этого числа: D(C )=C 2 D( ). 3. Если случайные величины и независимы, то D( + )=D( )+D( ). 4. 10 10

Пример Найдем дисперсию числа очков при одном подбрасывании кубика по свойству 4 Ряд распределения квадрата случайной величины ξ p 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 Математическое ожидание M( )=3, 5 11

Нормальное распределение случайной величины Случайная величина ξ имеет нормальное распределение, если ее плотность распределения вероятностей при всех x задается равенством 12

Числа m и распределения: σ называются параметрами параметр m - любое действительное число, параметр σ – положительное: σ>0 Символическая запись означает, что величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ2. 13

Кривая нормального распределения 0 m Площадь под кривой равна 1 x 14 14

Стандартное нормальное распределение имеет параметры m=0, σ =1 Плотность стандартного нормального распределения 15

Функция распределения нормального закона F(x) 0 x 1616

Функция распределения стандартного нормального закона 17

Свойство 1. Математическое ожидание равно параметру m, а дисперсия равна σ2 т. е. M(ξ)=m D(ξ)= σ2 Пример. Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности 18 18

. Математическое ожидание m=10, дисперсия 2σ2 =50, σ2 =25, стандартное отклонение σ =5 0 10 x 19 19

Свойство 2 Между функциями распределения F(x) и имеет место следующее равенство Свойство 3 20 20

Найдем значение функции распределения F(x) при x=17, 5 случайной величины x Ф(x) 1, 4 0, 919 1, 5 0, 933 1, 6 0, 945 21

Найдем значение функции распределения F(x) при x=2, 5 22

Свойство 4 Вероятность попадания случайной величины ξ в интервал [a, b] можно найти по формуле 23

В частности, для интервала симметричного относительно математического ожидания m длины 2Δ ∘ m-Δ ∘ m+Δ Пусть Δ =3σ 24

Пусть α - заданное число , 0 ≤α≤ 1 Решение уравнения называется квантилью порядка α стандартного нормального распределения и обозначается Пример Найдем значение x , в котором функция распределения равна 0, 38 25

x Ф(x) 0, 2 0, 56 0, 3 0, 62 0, 4 0, 65 26

x Ф(x) 0, 2 0, 56 0, 3 0, 62 0, 4 0, 65 27

Распределением Пирсона χn 2 с n степенями свободы называется распределение сл. в. Квантилью распределение называется значение χn, α 2 Пирсон порядка α 28

Распределением Стъюдента ( или t – распределением) с n степенями свободы называется распределение сл. в. Квантилью распределение Стъюдента порядка α называется значение tn, α/2 29

Графически определение квантилей: площадь равна α -t n, α/2 0 tn, α/2 x 30 30 30

Элементы математической статистики Выборочный метод Предметом математической статистики является изучение случайной величины по результатам ее наблюдений Одной из основных задач математической статистики является разработка методов , позволяющих по результатам наблюдений делать выводы о законе распределения изучаемой случайной величины. 31

Пример Допустим, что по результатам подбрасываний нужно по установить, является ли кубик правильным. Если кубик правильный, то случайная величина имеет ряд распределения ξ p 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 математическое ожидание m =3, 5 , дисперсию и среднее квадратическое отклонение 32

Генеральная совокупность - случайная величина ξ с неизвестной функцией распределения F (x). Для ее изучения производятся наблюдения (опыты), результатом которых является последовательность случайных величин с функцией распределения F (x). Выборкой объема n называется последовательность X 1, X 2, …, Xn независимых случайных величин с одним и тем же законом распределения F (x). 33 33

Результаты наблюдений - совокупность из n чисел: x 1, x 2, …, xn, которые назовем реализацией выборки. Пример Кубик подбрасывают 10 раз. Каждое подбрасывание – случайная величина. Они образуют выборку объема n=10 X 1, X 2, …, X 10 34

Пусть результаты подбрасывания выборки) 1, 4, 1, 3, 6, 4, 3, 4, 5, 1 (реализация Расположим их в порядке возрастания 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6 Обозначим ni число выпадений i очков: n 1 = 2, n 2 = 1, n 3 =2, n 4 =3, n 5 =1, n 6 =1. Найдем относительные частоты и составим статистическое распределение выборки 35

xi ni 1 2 3 4 5 6 2 1 2 3 1 1 0, 2 0, 3 0, 1 36

В реализации выборки x 1, x 2, …, xn выделим все неравные другу значения (варианты) и расположим их в порядке возрастания Эти значения образуют вариационный ряд. 37

Обозначим ni число значений выборки, равных Относительные частоты Составим статистическое распределение выборки 38

Точечные оценки параметров генеральной совокупности Оценки математического ожидания Выборочным средним называется арифметическое всех значений выборки среднее 39

Модой называется варианта с наибольшей относительной частотой. Медианой называется варианта, приходящееся на середину вариационного ряда. Выборочное среднее, мода и медиана могут служить оценками для неизвестного математического ожидания признака г. с. 40

Пример xi 1 2 3 4 5 6 0, 2 0, 1 0, 2 0, 3 0, 1 Все эти числа служат оценками математического ожидания числа очков при бросании кубика M(ξ)=3, 5. 41

Оценки дисперсии Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки xi от выборочной средней Выборочное среднее квадратическое отклонение 42

Исправленной выборочной дисперсией называется Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение 43

Пример xi 1 2 3 4 5 6 0, 2 0, 1 0, 2 0, 3 0, 1 эти числа служат оценками дисперсии числа очков 44

Сравните с 45

Эмпирической (статистической) распределения называется функция где функцией число значений выборки, не превосходящих x. Теорема Для любого ε > 0 при n→∞ 46

Оценкой неизвестного параметра ϴ теоретического распределения называется функция от наблюдений над сл. в. Оценка является случайной величиной: если произвести другую выборку, функция примет другое значение. Оценка неизвестного параметра ϴ называется несмещенной, если несмещенные смещенная 47

Оценка называется состоятельной, если для любого ε > 0 при n→∞ Это означает, что при большом объеме выборки являются состоятельными 48