Математическое образование сегодня - цели, содержание и современное оформление занятия
Линии развития в математической дидактике (1) Взгляд на функцию математического образования и на концепцию целей и содержания математического занятия (2) Взгляд на программу процесса, на учение математики как процесс и на его теоретическое обоснование (3) Акцент на результаты занятий (4) Акцент на компетенцию преподавателей Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 2
Линии развития в математической дидактике (1) Взгляд на функцию математического образования и на концепцию целей и содержания математического занятия (2) Взгляд на программу процесса, на учение математики как процесс и на его теоретическое обоснование (3) Акцент на результаты занятий (4) Акцент на компетенцию преподавателей Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 3
(1) Функция математического образования 1. Функция математического образования 2. Развитие компетенции на математическом занятии 3. Последовательность целей и содержания современного математического занятия 4. Последовательность разработки математического занятия Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 4
Функция математического образования • Почему необходимо думать и обсуждать концепцию современного математического образования? • Математика была, есть и будет. . . Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 5
Функция математического образования • Для чего нужны уроки математики? • Математику изучают в течение многих лет при большом количестве часов в неделю – к чему эти издержки для всех детей? • Майя, Адам Рис … Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 6
Функция математического образования Знаки чисел майя Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 7
Функция математического образования Пример изображения числа: 2 • 400 0 • 20 11 • 1 811 Немногие из людей владели математикой Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 8
Функция математического образования Адам Рис (1492 - 1559) Основоположник немецкой арифметической школы Большинство людей не умело письменно считать. Шли к средневековому арифметику, который умел считать. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 9
Функция математического образования Почему необходимо вновь и вновь обсуждать функцию математического образования? Функция математического образования помогает нам отвечать на вопросы по содержанию и проведению занятия: • Должны ли дети учить письменный счет? • Должны ли дети пользоваться калькулятором на занятии? • Должны ли учащиеся начальной школы использовать калькуляторы? • Насколько важно знать приблизительное решение? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 10
Функция математического образования Вопросы по содержанию и оформлению занятия • Какое значение имеет запоминание фактов? • Сегодня все есть в интернете. Какой объём фактического материала необходимо знать? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 11
Функция математического занятия Вопросы по содержанию и оформлению занятия • Какую роль играют доказательства математических теорем? • Должны ли дети доказывать теоремы? • Должны ли дети понимать доказательства? • Или: Должны ли дети только применять теоремы? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 12
Функция математического занятия Вопросы по содержанию и оформлению занятия • Что такое сегодня необходимое содержание занятия? • Когда вы считали это последний раз: • 12 • 86415 : 7 • 43% от 47 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 13
Функция математического занятия Вопросы по содержанию и оформлению занятия • Нужно ли еще сегодня выполнять построения с помощью циркуля и линейки? (Имеется графическое программное обеспечение на каждом ПК !) • Сколько и какие знания о теории вероятности необходимы учащимся? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 14
Функция математического образования Математическое образование материальная сторона Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler формальная сторона www. mathematikus. de 15
Функция образования материальная сторона - получать знания умения и навыки, которые можно использовать как инструмент формальная сторона - приобретение учебного материала всегда связано с развитием личности, - центральный вопрос: Как преподаватель разрабатывает занятие? - Этот вопрос решает успех урока Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 16
Функция математического образования материальная сторона Математическое образование • дает детям возможность отвечать на элементарные вопросы • об окружающем мире, • о повседневной жизни, • о математике • Строит основание успешного обучения • во всех последующих классах и ступенях • в других предметах, которые используют Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de математику как инструмент 17
Функция математического образования материальная сторона - Простой способ аппроксимации расчет в повседневной жизни - Может ли рассчитанный с калькулятором результат быть правильным? - Когда я должен уходить, если поезд отправляется в 14. 00 ч. - Какой телефонный тариф оптимален для меня? - Почему крышки канализационных люков круглые? - Насколько велик шанс выиграть в лотереи? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 18
математика и окружающий мир МАТЕМАТИКА понятия процессы правило инструментарий структуры повод мотивация иллюстрация прикладное поле контрольная возможность ОКРУЖАЮЩИЙ МИР 19
Функция математического образования формальная сторона • Побуждение любопытства, интереса и радости в математических действиях, • развитие фантазии и креативности , • развитие мышления, памяти и языка, • развитие способности учиться выносливо и сконцентрировано, • привычка к преодолению преград, • воспитание точности, тщательности и самостоятельности • и не в последнюю очередь развитие социального поведения. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 20
Побуждение любопытства и интереса … математика в снежинке. . . Fotos © by Kenneth G. Libbrecht, http: //www. its. caltech. edu/~atomic/snowcrystals/ Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 21
Побуждение любопытства и интереса … Картины рассматривают сначала в качестве художественного произведения и потом смотрят на это „с точки зрения математики“ Гюнтер Брендель: спираль Пифагора он не знал, что он рисовал. . . фигура для доказательства теоремы Пифагора Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 22
Побуждение любопытства и интереса … Найдите фигуры для доказательства и докажите теорему Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 23
Побуждение интереса : Spirolaterale 1 - 2 - 3 - 4 - 5 5 Выберите 3, 4, 5 или 6 любых чисел. Изобразите отрезки в соответствии с этими числами. 1 4 2 1 3 2 3 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 24
Spirolaterale (спиролатерал) Сначала: • Упражнение для рисования Потом: • Какие можно сформулировать вопросы? • Что можно предположить? • Как можно доказать предположения? • Можно ли поменять местами данное и находящееся в поиске? • Можно ли исследовать функциональные зависимости? Попробуйте и сделайте выводы … Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 25
Spirolaterale - 3 числа a - b - c справа внизу слева сверху a b c a c c a b c a + b + c Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 26
Spirolaterale • Какие вопросы можно сформулировать? • Сравните и сделайте выводы! • 1 – 2 – 3 и 3 – 2 – 1 • 1 – 2 – 3 и 2 – 4 – 6 • 2 – 3 – 7 и 2 – 3 – 8 и 2 – 3 – 9. . . • a – b – c – d – e – f Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 27
Побуждение любопытства и интереса … а) арифметические трюки б) интересные результаты арифметических задач в) задания к мышлению г) интересные результаты геометрических задач д) мотивирующие задания для рисования Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 28
Побуждение любопытства и интереса … а) арифметические трюки 47 • Как это функционирует? Объясните трюк! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 29
Побуждение любопытства и интереса … а) арифметические трюки 43 • 47 (10 • 4 + 3) • (10 • 4 + 10 – 3) (10 a + b) • (10 a + 10 – b) = 100 a 2 + 100 a -10 ab + 10 b – b 2 = a(a + 1)100 + b(10 – b)= Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 30
Побуждение любопытства и интереса … а) арифметические трюки xyz + zyx ___ • k = ______ (k ≤ 9) abc – cba xyz Как это функционирует? Объясните трюк! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 31
Побуждение любопытства и интереса … а) арифметические трюки abc – cba xyz + zyx ___ • k = ______ (k ≤ 9) (100 a + 10 b + c) – (100 c + 10 b + a) = 99 a – 99 c = 99(a – c) 99 ( a – c) = x 9 z, x + z = 9 x 9 z + z 9 x = 1089 • k = pqrs, p + s = 10, q + r = 8, p – 1 = q Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 32
Побуждение любопытства и интереса … а) арифметические трюки Пауль быстро считает: 275 542 653 724 457 + 346 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler 1462 7341 3739 6260 2658 + 8537 Как он считает? Объясните трюк! www. mathematikus. de 33
Побуждение любопытства и интереса … б) интересные результаты U H U O T T O – H U H – T O O T Сравните и сделайте выводы Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 34
Побуждение любопытства и интереса … б) интересные результаты U H U – H U H • • • O T T O – T O O T дети экспериментируют, считают дети получают различные результаты, дети сравнивают дети предполагают, дети обосновывают (например материалом) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 35
Побуждение любопытства и интереса … б) интересные результаты – обосновать материалом 5225 - 2552 это от 2552 до 5225 т с д + 900 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler е - 9 www. mathematikus. de = 3 • 891 + 891 36
Побуждение любопытства и интереса … б) интересные результаты • Выберите 3 различные цифры a, b, c. • Запишите 6 трехзначных чисел, которые можно образовать из этих 3 цифр. • Образуйте сумму этих 6 чисел. • Разделите сумму на 222. Какой результат? Какой результат, если 4 цифры? Какой получается результат если х цифр? Подготовьте это для семинара. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 37
Побуждение любопытства и интереса … б) интересные результаты Проблема « 3 n+1» (проблем Collatz) Дано любое натуральное число, из которого образуется последовательность чисел по следующим правилам. (1)Если число чётное, то следующее число равно половине этого числа. (2)Если число не чётное, то его надо умножить на 3 и потом увеличить на 1. Какой получается результат Эта последовательность чисел всегда достигает числа 1. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 38
Побуждение любопытства и интереса … б) интересные результаты число «КАПРЕКАР» Индийский математик Д. Р. КАПРЕКАР открыл в 1949 году особенное число Дано любое натуральное число a<b<c<d 9751 1, 5, 7, 9: 8721 7443 9963 6642 - 1579 - 1278 - 3447 - 3699 - 2466 8172 7443 3996 6264 4176 Какой получается результат? 6174 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 39
Побуждение любопытства и интереса … б) интересные результаты число «КАПРЕКАР» - Почему результат всегда 6174? Если z = abcd: a ≥ b ≥ c ≥ d и a ≠ d 1000 a + 100 b + 10 c + d - 1000 d – 100 c – 10 b – a______ 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a) = 999(a-d) + 90(b-c) (0 < a-d ≤ 9; 0 ≤ b-c ≤ 9) Результат - или 999, или четырехзначное число. Надо проверить все возможные случаи. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 40
Побуждение любопытства и интереса … б) интересные результаты - число «КАПРЕКАР» + 999 • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 90 • 4 5 6 7 8 9 999 1089 1179 1269 1359 1449 1539 1629 1719 1809 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler 2808 3807 4806 5805 6804 7803 8802 9801 www. mathematikus. de 41
Побуждение любопытства и интереса … б) интересные результаты Цикл СТЕЙНГАУС (1) Выберите любое число abcd. (2) Рассчитайте сумму квадратов его цифр (a ² + b ² + c ² + d ²). (3) Повторите действия (2) с цифрами суммы. . Какой получается результат? В результате вы получите либо 1, либо число 145 и с числа 145 повторяется цикл: 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 42
Побуждение любопытства и интереса … в) задания к мышлению Моя машина в 7 раз старше чем её шины были, когда моя машина была такая же старая как её шины сейчас. Если её шины будут такие же старые, как моя машина сейчас, то машина и шины вместе будут иметь возраст между 30 и 40 годами. машина было сейчас будет шины 4 8 1 2 1 - 7 2 - 14 7 14 4 8 10 20 7 14 • Решение и • ретроспективный взгляд • по результату • в соотвествии со способом решения Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 43
Побуждение любопытства и интереса … г) интересные результаты геометрических задач Постройте четырёхугольник на серединах сторон данного четырёхугольника. Определите его вид и докажите. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 44
Побуждение любопытства и интереса … г) интересные результаты геометрических C задач P 1 P 4 P 2 P 5 A P 3 P 6 B Сформулируйте теорему и докажите её. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 45
Открытия при геометрических построениях а) Постройте равносторонний треугольник ABC со стороной 6 см. Отметьте внутри треугольника различные точки K, L, M, N, . . . Определите для каждой точки расстояния до сторон треугольника. Учитывайте, что угол при измерении всегда должен быть прямой. Вычислите сумму всех трех расстояний. б) Попробуйте теперь это сделать в треугольнике со стороной 10 см. c) Исследуйте треугольник, в котором стороны имеют разную длину. Сформулируйте теорему и докажите её.
Побуждение любопытства и интереса … д) мотивирующие задания для рисования Подготовьте к семинару мотивирующие задания для рисования. Представьте их с доказательствами на следующем семинаре. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 47
Линии развития в математической дидактике (1) Взгляд на функцию математического образования и на концепцию целей и содержания математического занятия (2) Взгляд на программу процесса, на учение математики как процесс и на его теоретическое обоснование (3) Акцент на результаты занятий (4) Акцент на компетенцию преподавателей Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 48
учение математики как процесс Задание математической дидактики: • Развитие и коррекция субстанциальных учебных окрестностей с возможностями для материального и формального образования. • Пропаганда культуры работы с учебными окрестностями, которые имеют потенциал для развития учащихся (подготовка педагогических кадров, повышение квалификации учителей) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 49
математика и окружающий мир МАТЕМАТИКА понятия процессы правило инструментарий структуры повод мотивация иллюстрация прикладное поле контрольная возможность ОКРУЖАЮЩИЙ МИР 50
Мир, ребенок и математика • У многих детей есть проблемы с математикой. • Как правило причиной этих проблем не является сам ребенок! • Имеется проблема „соответствия“: Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 51
Причины трудностей в математике социальные компоненты биологические компоненты психические компоненты (vgl. SCHULZ, A. - 1995, S. 17) Познавательные способности и функции психическая активность Самопрограмма Недостаточное соответствие Планы обучения и воспитания Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler Учебники www. mathematikus. de Учебный материал Преподаватель Учебный стиль 52
Учение математики - это значит • процесс, в котором ребенок сам должен конструировать смысл, • социальный процесс, • процесс, который требует целенаправленного руководства Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 53
Процесс, в котором ребенок сам должен конструировать смысл Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de
Дать возможность для понимания 25 • 36 100 • 9 = 900 • Является ли преподаватель только лицом, которое показывает „трюк“ и разрешает его выполнять или • ребенок может сам смотреть и понимать почему это работает? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de
„В два раза ниже – в два раза шире. “ 3 • 86 • 4 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de
активная смысловая конструкция. . . Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 57
активная смысловая конструкция. . . Иллюстрации не показывают смысла! Дети должны сами конструировать смысл! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 58
активная смысловая конструкция. . . Что ты видишь на этой картинке? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 59
активная смысловая конструкция. . . Пауль сказал, что этой картинке соответствует 3 • 2. Почему он так решил? Лаура: „ 3 умножить на 2 равно 6“ I. : „можешь ли ты мне это показать? “ Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 60
активная смысловая конструкция. . . Лаура: „Там сзади 3 кубика“ (3 раскрашивает) „И здесь 2. 3 умножить на 2 равно 6“ (раскрашивает впереди 2 кубика) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 61
активная смысловая конструкция. . . I. : Можешь ли ты разложить кубики в соответствии с 3 • 2? “ Лаура: „Да, 3 умножить на 2 равно 6“ (разложила кубики) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 62
активная смысловая конструкция. . . I. : „Я вижу только 5 кубиков“ Лаура: (Медлит) „ 1, 2, 3, 4, 5“ „ 3 умножить на 2 равно 6“ (кладет 1 кубик) I. : Что ты положила теперь? Лаура: „Знак умножения“ Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 63
активная смысловая конструкция. . . 20 : 2 = ____ Сформулируйте текст задачи по данному условию. 20 машин стоят на стоянке. 2 машины уезжают. Сколько машин осталось? (Дели!) „В принципе, я должен считать минус. Это будет меньше. Но ТЫ хотел, чтобы я делила. “ Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 64
активная смысловая конструкция. . . Нарисуй картинку которая соответствует этому заданию 8 : 2 Abb. aus: Grasmann/Eichler/Mirwald/Nitzsch: Kompetent im Unterricht der Grundschule: Mathematikunterricht
активная смысловая конструкция. . . Что было бы, если А = 1, Б = 2, В = 3, Г = 4, Д = 5 … А + А = Б Б + Б = ? И + И = ? Д • Д = ? Как выполнить это задание? Почему нам сложно Д • Д = ?
активная конструкция смысла. . . Чтобы дробь разделить на дробь, нужно делимое умножить на дробь обратную делителю. ? у о П м е ч
активная конструкция смысла. . . ? Площадь круга: S = π • r у м е ч о П 2 Докажите формулу!
Оформление математического занятия Основной путь для реализации целей занятия: Умственная активность детей. Основное средство для активизации умственной деятельности детей: Работа с задачами. Что это значит? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 69
Оформление математического занятия ЗАДАЧА - это побуждение к действию, • ребенок может решать задачу с помощью собственных знаний, умений и навыков • или ребенок может доказать, что задача не имеет решения. Что является задачей для конкретного ребенка, зависит от этого ребенка. Это вопрос соответствия. (Л. С. Выготский) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 70
Оформление математического занятия работа с заданиями – деятельность преподавателя • выбрать задачи, • расположить задачи, • подобрать задачи к конкретному занятию, • запустить и продолжать непрерывный процесс заданной обработки, • организация ретроспективного взгляда • по результату • в соотвествии со способом решения Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 71
Учение математики: Bruner активный уровень образов (икон) вербально-символический уровень невербально-символический уровень Важно: • Деление в вербально-символическом и невербальносимволическом уровнях • Невербально-символический: Сначала только термы! • Активный уровень – это не только промежуточная 72 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de стадия (ступень, фаза)
Учение математики Несколько приемов (например Лоренца в 2005) о иллюстрации числа и операции • Представления, создающиеся в голове человека, скорее геометрическипространственные, а не языковые. • Дети используют в голове картинки и фильмы. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 73
Учение математики • Вычислительные операции существуют в голове как движение в мыслительном помещении чисел. • Визуальные представления не являются воспоминаниями. • Визуальные представления являются активными, актуальными конструкциями. • Представления не являются внутренним отображением внешней действительности. • Представления являются образной формой знания! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 74
Учение математики • Визуальные картины представления помогают детям только тогда, когда они "диффузные“ • Тогда они применимы как переменные "схемы" во многих ситуациях • Чтобы строить схемы не хватает акта восприятия или действия • Фокусирование внимания на численные изменения в ситуации необходимо. • Объективно ядро должно становиться важным для субъекта! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 75
Учение математики Переменные схемы. . . + 30 + 5 + 300 28 + 37 5 + 8 238 + 340 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler 28 5 238 www. mathematikus. de + 7 + 3 + 40 58 10 538 65 13 578 76
Учение математики Переменные схемы. . . + 200 + 20 43 + 19 238 + 199 43 238 437 62 438 63 Схема к решению классов заданий. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 77
математика и окружающий мир МАТЕМАТИКА понятия процессы правило инструментарий структуры повод мотивация иллюстрация прикладное поле контрольная возможность ОКРУЖАЮЩИЙ МИР 78
Следствия для математического занятия Для пробуждения интереса к математике можно многое найти в окружающем мире Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 79
Поводы в окружающем мире Обман? Каждый третий лотерейный билет выигрывает! Продавец лотерейных билетов написал этот плакат. Магдалена читает и покупает 6 билетов. Она тянет только пустые билеты „. . . ВСЕ БИЛЕТЫ В ЛОТЕРЕЕ ПУСТЫЕ. . . “ „. . . Продавец - мошенник“ ругается Магдалена. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 80
Поводы в окружающем мире: ЛОТО Папа Пауля уже 10 лет играет в лото. Он еще никогда не выигрывал. „Конечно, он должен скоро выиграть“ - думает Пауль. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 81
Поводы в окружающем мире: ЛОТО Какие числа он должен выбрать? 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 6, 13, 17, 26, 38, 44? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 82
Поводы в окружающем мире Телефонные тарифы – какой тариф больше всего подходит для Вас? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 83
Поводы в окружающем мире • Как правильно сложить бумажный самолетик, чтобы он мог долго летать по комнате? • Какого размера должно быть зеркало, в котором можно увидеть себя в полный рост? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de
Поводы в окружающем мире • Как найти центр подставки под кружку с пивом, если вы хотите использовать её как колесо машины? • Что происходит, если ось находится не в центре круга? • Как можно сконструировать "машину качели", которая поднимается и опускается при езде попеременно спереди и сзади? Когда машина поднимается и опускается попеременно справа и слева? Когда машина покачивается как корабль? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de
Поводы в окружающем мире Кто из вас может построить мост из 10 листов бумаги и клея, который выдержит очень большую нагрузку? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 86
Поводы в окружающем мире • Гончарный круг • Как аналогично нарисовать круг? • “Рука вместо циркуля“ Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 87
Поводы в окружающем мире • Колесо круглое. При движении диаметр колеса не изменяется. • Существуют ли другие фигуры, кроме круга, которые обладают тем же свойством? • Да, например треугольник REULEAUX! • КАК ТАКОЙ ТРЕУГОЛЬНИК ВЫГЛЯДИТ? • Может ли такой треугольник использоваться как колесо? Можно ли его использовать как ролик? • Можно ли сверлить квадратные отверстия? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 88
Окружающий мир: Пропорциональные отношения Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 89
Окружающий мир: Пропорциональные отношения • Если Пауль покрасит забор в три раза длиннее, ему потребуется в три раза больше краски. • Если Пауль будет в два раза старше, ему потребуется в два раза больше краски. • Если два ребенка красят забор, то им потребуется в два раза больше краски. • Если два ребенка красят забор, то каждый из них покрасит только половину забора. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 90
Окружающий мир: Пропорциональные отношения • Лариса и дедушка красят забор. Во время работы они вместе делают перерыв 20 минут. . • Дедушке 48 лет. Размер его обуви - 48. Ларисе 8 лет. Важно: Необходимо подбирать примеры, в которых нет пропорциональной зависимости. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 91
“двойные обозначения“ на числовом луче - пропорциональные отношения Дополните обозначения на чертеже! a) За 2 дня построили 48 м велосипедной дорожки. 0 2 дня 0 48 м b) В течение 4 часов грузовик проехал 200 км. c) 3 одинаковых мешка картофеля весят 75 кг. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 92
Дороги в городе прямоугольных дорог Положение вещей из нескольких перспектив: • Дороги - время (пропорциональные отношения) • Комбинаторика (сколько дорог от A до B) • Теория граф ("мостовая проблема") Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 93
Дороги в городе прямоугольных дорог 1. Уте идет в гости к Нико. Она должна пройти 3 поперечных улицы. Ей нужно 12 минут. Потом она идет к Тому. Сколько она будет идти? 2. Свен идет в школу. До Ольги он идет 10 минут. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 94
Дороги – время (пропорц. отношения) Анне идет Ян гуляет Прогрессивная схематизация: • В начале дома ещё видны. • Тротуар напоминает дорогу. • Потом будет только линия. Тина бежит Здесь она бежит ещё быстрее? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 95
Таблицы: Пропорциональные отношения Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 96
Мостовая проблема 1. Ян идёт однажды и только однажды через каждый мост и приходит в замок. Опишите его дорогу. 2. Ольга хочет идти к замку также, однажды и только 97 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de однажды через каждый мост.
Мостовая проблема - теория граф Ольга хочет идти к замку также, однажды и только однажды через каждый мост. Как она должна идти? Или: Докажите, что это не возможно! Ян Замок Ольга Йенс Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 98
рисуем графы Дом Николауса Дед Мороз Символы МЕРСЕДЕСа и АУДИ. . . Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 99
Дороги в городе прямоугольных дорог А Сколько различных дорог от A до B существует, если можно идти только направо и вниз. В Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 100
Поводы в окружающем мире Max Bill (1973) „vier quantengleiche Farben in acht gleichen Formen“ Макс Билл (1973) 4 одинаковых количества цвета в 8 одинаковых формах Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 101
Поводы в окружающем мире Сначала надо картину рассмотреть, воспринять. Как картина действует на детей? Действительно ли картина имеет 4 одинаковых количества цвета ? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 102
Искусство и математика - связь У меня есть 3 цвета. . Сколько существует возможностей покрасить кафель в эти три цвета? Если есть 4 (5, 6, . . . ) цветов ? Если кафель четырёхцветный. . . Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 103
Поводы в окружающем мире - Паркеты Где имеются осевые симметрии? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de Где имеются симметрии вращения? 104
Поводы в окружающем мире - Паркеты Где имеются осевые симметрии? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de Где имеются симметрии вращения? 105
Линии развития в математической дидактике (1) Взгляд на функцию математического образования и на концепцию целей и содержания математического занятия (2) Взгляд на программу процесса, на учение математики как процесс и на его теоретическое обоснование (3) Акцент на результаты занятий (4) Акцент на компетенцию преподавателей Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 106
Развитие компетенции на математическом занятии Понятие „Компетенция“ • „Компетенция образовано от „competere“. • „competere“ в переводе „гармонирует, совпадает“. • Ребенок компетентен решать задание. • Ребенок и задание – гармонируют, совпадают. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 107
Развитие компетенции на математическом занятии Компетенции учеников - это на основе знаний • имеющиеся способности и навыки к решению заданий, а также • вместе с этим связанные мотивационные, аффективные и социальные способности и готовности Чтобы • успешно находить решение в переменных ситуациях • и уметь использовать решение ответственно. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 108
Развитие компетенции на математическом занятии • Компетенции выражаются в деятельности, • Поэтому: Ориентирование на компетенцию - цели учебы должны быть наблюдаемой деятельностью. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 109
Развитие компетенции на математическом занятии • Компетенция выражается в деятельности. • Наблюдаемая деятельность: Активные глаголы • „понимать“, „знать“ и т. д. - это не активные глаголы! (не возможно наблюдать понимание) • активные глаголы, к примеру • анализируют и описывают, • обосновывают, объясняют Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 110
Компетенция в образовательных стандартах Компетенция по отношению к содержанию Общая математическая компетенция Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 111
Компетенции в образовательных стандартах Компетенции по отношению к содержанию • число и операция • пространство и форма • образцы и структуры • величины и измерения • данные, частота и вероятность (Образец и структуры играют особенную роль) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 112
ет ен ц ии Компетенции Ч ; О В ; М Д ; Ч ; В бщ О www. mathematikus. de ие е Компетенции по отношению к содержанию Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler ие ат е П ; Ф м О ; С ма решать проблемы ти че моделировать ск общаться к аргументировать ом п представлять математику 113
Компетенции в образовательных стандартах Замечания к образцу и структурам • Математика - это наука образцов • Образец и структура охватывают все области математики в поперечном разряде • Что такое образцы? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 114
Muster „A pattern describes a problem which occurs over and over in our environment, and then describes the core of the solution to that problem. ” Christopher Alexander (1977) (Дизайнер, Aрхитектор) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de 115
Скачать презентацию Математическое образование сегодня — цели содержание и современное
Shymkent_MU_zeitgemaess_ru_pdf.pptx