МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ Цель изучения дисциплины

Скачать презентацию МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ Цель изучения дисциплины

LEK_MM.PPT

Количество слайдов: 130

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ • Цель изучения дисциплины. Изучение методов проектирования и анализа любых систем с особым вниманием к обработке экспериментальных данных при технологических исследованиях. • Задачами изучения дисциплины являются получение практических навыков: • построения и анализа математических моделей систем; • обработки экспериментальных данных для получения математического описания систем; • построения стохастических моделей систем; • исследования математических моделей.

1. Элементы системного анализа • • 1. 2. 1. 1. Введение 1948 г. Норберт Винер предложил термин «Кибернетика» для обозначения «науки об управлении и связи в животном и машине» . В 1954 г. он добавил «и в обществе» . 2 направления развития кибернетики: Изучение достаточно простых систем управления, работающих без участия человека (автоматически). Прикладная наука – автоматика. Теоретическая база – теория автоматического управления (ТАУ). Изучение сложных систем, в контур управления которых входит человек. Прикладная наука – системный анализ. Теоретическая база – общая теория систем (ОТС). Кибернетика Простые системы Сложные системы Автоматика Системный анализ ТАУ ОТС

1. Элементы системного анализа 1. 2. Основные этапы системного анализа 1. Концептуализация проблемной ситуации. Включает в себя: • • постановка проблемы анализ исходной информации первичная структуризация формулирование целей моделирования 2. Построение математической модели. • Параметризация (описание выделенных элементов и процессов с помощью параметров – часто совмещается со структуризацией) • Установление зависимостей между параметрами (количественные зависимости, качественные, вероятностные) 3. Исследование модели для достижения поставленной цели a) b) b) c) c) d) d) Простая аналитическая модель – анализ модели с получением оптимального варианта Сложная модель – численный эксперимент на ЭВМ с использованием алгоритмов оптимизации Сложная модель при недостаточно точных параметрах – подбор на ЭВМ условий для достижения цели может и не точно, но достаточно быстро. Получение прогноза развития системы

1. Элементы системного анализа 1. 3. Понятие системы в системном анализе: Входы U Внешняя среда Выходы Y СИСТЕМА Внутренние состояния Х Функция переходов: 1. X = F(U) 2. X = F(U(t), t) 3. X(t) = F(X(t-Δt), U(t), t) Функция выходов: Y = Ф(X, U, t) Внешняя среда

1. Элементы системного анализа 1. 4. Состав и структура системы: Состав: перечень входящих в систему элементов и подсистем с указанием их целей. Структура: перечень связей между элементами. Система = Состав + Структура Выделение состава и структуры системы называется ее декомпозицией.

1. Элементы системного анализа 1. 5. Основные свойства системы: 1. Целостность: система есть совокупность взаимосвязанных элементов, образующих единое целое, функционирующее для достижения заданной цели. 2. Необходимое разнообразие: наиболее эффективная система ограничена по количеству разнообразных элементов по max и min. 3. Эмерджентность: целое не равно сумме его частей. У всей системы могут быть свойства, которых нет у ее элементов. Более того – у элементов могут быть свойства, которых нет у системы.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 1. Классификация моделей 1. Физические и математические модели U(t) k G m F(t) y R L C Uc

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 1. Классификация моделей 2. Статические и динамические модели. В статических не участвует изменение параметров во времени, а динамические учитывают фактор времени. 3. Непрерывные и дискретные модели. В непрерывных все параметры – непрерывные функции. Дискретные – разрывные. Дискретность по координате и дискретность по времени. 4. Детерминированные и стохастические модели. В стохастических учитывается влияние случайных факторов (моделирование случайности). 5. Имитационные модели. По структуре подобны моделируемой системе. Позволяют проводить эксперименты на ЭВМ. 6. Модели типа «черный ящик» . Структура системы не вскрывается, но модель подобна система по входу и выходу.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 2. Преимущества моделирования по сравнению с экспериментальными исследованиями 1. Получение большего количества информации 2. Сокращение сроков и затрат на исследования 3. Возможность проигрывания экстремальных ситуаций Варианты построения моделей 1. Моделируемая система хорошо изучена в плане структуры и зависимостей между входами, состояниями и выходами (функции переходов и выходов). Это аналитическая модель. 2. То же самое, на в функциях переходов и выходов имеются неизвестные параметры и коэффициенты, которые уточняются экспериментально. Это полуэмпирическая модель. 3. Функции переходов и выходов неизвестны. Обычно строят эмпирическую модель типа «черный ящик» .

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 3. Требования к моделям 1. • • 2. Адекватность: Качественная – правильное качественное описание системы по выбранным характеристикам Количественная - правильное количественное описание системы по выбранным характеристикам Достаточная простота Вытекает из возможности реализации модели и противоречит адекватности).

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 4. Аналитические модели Способы построения 1. Феноменологический – в результате прямого наблюдения, изучения системы и осмысливания результатов (например, законы Ньютона) 2. Асимптотический – модель получается как частный случай более общего (например, применение законов механики, электротехники и т. п. для построения модели системы)

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 1. Метод наименьших квадратов (МНК) Дано: таблица или график функции X x 1 x 2 … xn Y y 1 y 2 … yn Найти: аналитическое представление функции Этапы решения: 1. Оценка вида зависимости и запись ее в аналитическом виде с неизвестными параметрами (коэффициентами) 2. Приведение зависимости к линейному виду, относительно искомых коэффициентов 3. Нахождение коэффициентов (МНК)

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 1. Метод наименьших квадратов (МНК) 1. Оценка вида зависимости и запись ее в аналитическом виде с неизвестными параметрами (коэффициентами) Обычно оценивается по графику и зависит от опыта. Проверяют несколько вариантов и выбирают наиболее подходящий. 2. Приведение зависимости к линейному виду, относительно искомых коэффициентов ПРИМЕРЫ:

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 1. Метод наименьших квадратов (МНК) 3. Нахождение коэффициентов Дано: 1. таблица или график функции X x 1 x 2 … xn Y y 1 y 2 … yn 2. Аналитическое выражение с неизвестными коэффициентами Например: y = a + bx Найти: Коэффициенты a, b. y yi xi x

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 1. Метод наименьших квадратов (МНК) 3. Нахождение коэффициентов Количество точек в таблице (n) должно быть не меньше количества искомых коэффициентов.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Настоящая методика устанавливает правила и алгоритм построения линейной и степенной математической модели технологических процессов и проверки ее адекватности. В качестве модели могут быть использованы зависимости: где y - выходной параметр; X 1. . . XK - входные параметры(факторы); C, a 0. . . a. K - искомые коэффициенты.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Полный факторный эксперимент (ПФЭ) 2 K В эксперименте участвует k факторов. Для каждого фактора устанавливаем 2 уровня (значения) – верхний (max) и нижний (min). Обозначим: Величина кодированного значения фактора для верхнего уровня принимает значение +1, для нижнего -1, для основного 0. При построении матрицы планирования эксперимента единицу опускают, а записывают только знаки "+" и "-". При варьировании факторов на 2 уровнях для k факторов возможно получить N = 22 вариантов сочетаний их значений. В соответствии с этим матрица планирования имеет N строк и (k+1) столбец: xi xiн xi xi 0 xiв xi

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов ПФЭ 22 Матрица планирования эксперимента: N факторы ПФЭ 23 Матрица планирования эксперимента: N x 0 x 1 x 2 1 + + + 2 + + 3 + 4 + факторы x 0 x 1 x 2 x 3 1 + + - 2 + + + - - + 3 + + - - 4 + + - - 5 + - + + 6 + - 7 + - - + 8 + - - - Алгоритм заполнения матрицы: 1. Первый столбец заполняется «+» 2. Второй – половина «+» , половина «-» 3. В каждом последующем столбце частота чередования знаков удваивается. 4. В последнем знаки чередуются через один. Недостатком полного факторного эксперимента является завышенное количество экспериментов.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Недостатком полного факторного эксперимента является завышенное количество экспериментов: Количество факторов Количество коэффициентов Колич. экспериментов k k+1 2 k 2 3 4 8 4 5 16 5 6 32 6 7 64 7 8 128

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Дробный факторный эксперимент 2 K-P целесообразно применять при числе факторов от трех и более, если ПФЭ по экономическим или каким-либо другим соображениям производить невыгодно. ДФЭ характеризуется сокращением числа опытов. Коэффициент P называют дробностью реплики. При P=1 число экспериментов сокращается в 2 раза, при P=2 - в 4 раза, при P=3 - в 8 раз и т. д. по степеням двойки. Переход к кодированным значениям факторов производится аналогично, как и в ПФЭ. При построении матрицы планирования первоначально строят матрицу для ПФЭ 2 B , где B = K - P. Затем столбцы для остальных факторов дополняют с помощью так называемых генерирующих соотношений. Матрица ДФЭ 23 -1 МАТРИЦА 1 МАТРИЦА 2 N X 0 X 1 X 2 X 3= X 1*X 2 N X 0 X 1 X 2 X 3= -X 1*X 2 1 + + + - 2 + + - + 3 + - + + 4 + - - -

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Для четырех факторов в ДФЭ 24— 1 существуют следующие генерирующие соотношения: x 4=x 1 x 2 x 3; x 4=x 1 x 2; x 4=x 2 x 3; x 4=x 1 x 3 (соотношения со знаком минус не рассматриваются). Из приведенных соотношений первое предпочтительнее. В этом случае говорят, что оно обладает наивысшей разрешающей способностью. N X 1 X 2 X 3 X 4=X 1*X 2*X 3 1 X 0 + + + 2 + + + - - 3 + + - 4 + + - - + 5 + - + + - 6 + - + 7 + - - + + 8 + - -

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Генерирующие соотношения для ДФЭ 25— 1: x 5=x 1 x 2 x 3 x 4; x 5=x 1 x 3 x 4; x 5=x 2 x 3 x 4; x 5=x 1 x 2; x 5= x 1 x 3; x 5=x 1 x 4; x 5=x 2 x 3; x 5=x 2 x 4; x 5=x 3 x 4. Наибольшей разрешающей способностью обладает первое соотношение.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Для ДФЭ 25 -2 существует 12 пар генерирующих соотношений со знаком "+": x 4=x 1 x 2, x 5=x 1 x 3; x 4=x 1 x 2 x 3, x 5=x 1 x 2; x 4=x 1 x 2, x 5=x 2 x 3; x 4=x 1 x 2 x 3, x 5=x 1 x 3; x 4=x 2 x 3, x 5=x 1 x 2; x 4=x 1 x 2 x 3, x 5=x 2 x 3; x 4=x 2 x 3, x 5=x 1 x 3; x 4=x 1 x 2, x 5=x 1 x 2 x 3; x 4=x 1 x 3, x 5=x 1 x 2; x 4=x 1 x 3, x 5=x 1 x 2 x 3; x 4=x 1 x 3, x 5=x 2 x 3; x 4=x 2 x 3, x 5=x 1 x 2 x 3. Из них наибольшей разрешающей способностью обладают последние три. Матрица планирования: N X 0 X 1 X 2 X 3 X 4=X 1*X 2 X 5=X 1*X 2*X 3 1 + + + 2 + + + - 3 + + - - 4 + + - - - + 5 + - + + - - 6 + - - + 7 + - - + + + 8 + - - - + -

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Проведение эксперимента 1. Задается случайный порядок проведения опытов (рандомизация) 2. Задается повторяемость эксперимента М 3. Задание верхних и нижних значений каждого фактора 4. Проведение эксперимента в соответствии с матрицей № x 0 x 1 x 2 Y 1 Y 2 Y 3 1 + + + 42, 3 42, 1 41, 7 2 + + - … … … 3 + - + … … … 4 + - - … … …

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов № x 0 x 1 x 2 Y 1 Y 2 Y 3 1 + + + 42, 3 42, 1 41, 7 2 + + - … … … 3 + - + … … … 4 + - - … … … 42, 03 0, 09335 Обработка результатов эксперимента: 1. Расчет средних и дисперсий для каждой строки плана 2. Поиск максимальной дисперсии из si 2. Обозначаем s 2 max

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Обработка результатов эксперимента: 3. Проверка однородности дисперсий по критерию Кохрена: • Расчет значения критерия • Для заданного уровня значимости (например q= 5%), определяющего вероятность ошибочного решения, и степеней свободы V 1= M-1 и V 2= N находим табличное значение критерия Gтаб Если G < Gтаб, то дисперсии однородны. В противном случае необходимо увеличить М или уменьшить погрешность в эксперименте с максимальной дисперсией. • 4. Расчет средней дисперсии

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Обработка результатов эксперимента: 5. Расчет коэффициентов модели в безразмерной форме: Например для ПФЭ 22: Знаки в суммах берутся из соответствующего столбца матрицы планирования.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Обработка результатов эксперимента: 6. Расчет значимости коэффициентов модели по критерию Стьюдента: • Расчет дисперсии ошибки определения коэффициента: • Расчет критерия Стьюдента: • Для заданного уровня значимости (q= 5%) и степени свободы V= N(M-1) определяется табличное значение критерия tкр. Если ti > tкр, то коэффициент bi значим. В противном случае его необходимо отбросить (bi=0). Причины незначимости коэффициентов: • действительное отсутствие связи фактора с выходной величиной Y • большое значение ошибки эксперимента из-за неучтенных факторов • малая величина интервала варьирования фактора

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Обработка результатов эксперимента: 7. Проверка адекватности модели: • расчет Yi по полученной модели для каждой строки плана эксперимента; • определение дисперсии адекватности модели: где L - количество значимых коэффициентов, включая b 0; • расчет значения критерия Фишера: F = S 2 ад / S 2 • определение для заданного уровня значимости q и степеней свободы V = N - L 1 и V 2=N (M-1) по таблицам значение критерия Фишера FКР. Если F

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 2. Методика планирования экспериментов Обработка результатов эксперимента: 8. 9. 10. 11. 12. 13. Расчет коэффициентов размерной модели: Осуществляется по формулам: N a 0 = b 0 - bi xi 0 / xi ; i=1 ai = bi / xi ; (i=1. . . k). 14.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 3. Примеры использования методик 1. • • • Детерминированная статическая система x=F(u). Все u неуправляемы наблюдение Получение таблицы x(ui) на основании наблюдения. Представление таблицы в виде графиков Выбор вида зависимости x = F(u, C) (из анализа графиков) Нахождение коэффициентов С (МНК) Примечание: u может быть вектором. Пример: Исследование износа резца в зависимости от пути резания U = a + b. L L, (м) 100 500 1000 1500 2000 2500 U, (мкм) 2 2, 5 3 4 4, 5 5, 5

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 3. Примеры использования методик 2. • • Детерминированная статическая система x=F(u). Активный эксперимент (u может быть вектором) Выбор вида зависимости x = F(u, C) (на основании опыта) Планирование эксперимента (определение диапазона и алгоритма изменения u) Если u является вектором, можно использовать методику планирования эксперимента. Проведение эксперимента и получения таблицы x(u) Нахождение коэффициентов С (МНК или методика планирования) Пример: Найти PY(s, t). Оборудование, инструмент, приспособление – заданы. Вид зависимости: C, a, b - ? План эксперимента: smin= s 1; smax= s 2; tmin= t 1; tmax= t 2; N s t PY X 1 X 2 1 s 1 t 1 P 1 + + 2 s 1 t 2 P 2 + - 3 s 2 t 1 P 3 - + 4 s 2 t 2 P 4 - -

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 5. Построение эмпирических моделей методом «черного ящика» 2. 5. 3. Примеры использования методик 2. Детерминированная динамическая система x=F(u, ) вектором) • Методом пассивного наблюдения или на основании методики планирования эксперимента получаем таблицу xi( ) = f(ui, )). В каждом эксперименте или наблюдении фиксируем не число х, а зависимость x( ) – графически или таблично. Из анализа кривых xi( ) находим вид зависимости xi( ) = ( , А), где А – неизвестные коэффициенты С помощью МНК находим А для каждой кривой, то есть для каждого значения ui и строим таблицу A(ui) По алгоритму планирования эксперимента или с помощью МНК находим зависимости коэффициентов А от факторов u. • • • (u может быть Пример: Найти PY(s, t, ). В соответствии с методикой планирования эксперимента строим таблицу: N s t 1 s 1 t 1 2 s 1 t 2 3 s 2 t 1 4 s 2 t 2 PY PY 12 … По времени PY 41 PY 42 … PY 4 n А 1 a 1 А 2 PY 1 n a a 2 А 3 PY 11 А a 3 А 4 a 4 Находим для каждого эксперимента по МНК значения А и a и заносим их в таблицу. По методике планирования получаем зависимости коэффициентов А и a от s и t: A = A(s, t), a = a(s, t) Получаем формулу , где коэффициенты А и a рассчитываются по формулам

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели Для идентификации детерминированных систем используется или МНК или методика планирования эксперимента. Однако, если в системе действуют случайные факторы, этот подход невозможен, т. к. выходные величины также являются случайными. 1. Если действие случайных факторов невелико – строят модель математического ожидания (т. е обычную модель для средних значений случайных величин). 2. Другой подход: проектировать систему для наихудшего случая действия случайных факторов. Например: допуск не размер вала откладывается в большую сторону, чтобы можно было исправить брак. 3. Существует более эффективный подход, который предполагает пересчет параметров случайных величин на входе в параметры случайных величин на выходе. Этот подход называется стохастическое моделирование. 4. Аналитически реализовать такой пересчет обычно невозможно. Поэтому используются приближенные методы, основным из которых является метод статистических испытаний или метод Монте-Карло.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели Задание случайной величины 1. 2. 3. 2. Функция распределения F(X) = P( < X) Свойства: Плотность распределения Свойства:

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели Примеры распределений 1. 2. 3. 4. 5. 2. Нормальное распределение (распределение Гаусса) Функция распределения: аналитического представления нет. Параметры распределения: Плотность распределения Логарифмически нормальное распределение – для существенно положительных величин Функция распределения: аналитического представления нет. X 0=4 Плотность распределения Z=1 Z=0. 2 При больших X 0 и малых Z кривая приближается к нормальному распределению.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели Примеры распределений 3. r Распределение Рэлея y x, y – по нормальному закону x Функция распределения: Параметр распределения: k Плотность распределения 4. Распределение Максвелла (вектор в трехмерном пространстве) Функция распределения: аналитического представления нет. Плотность распределения Параметр распределения: с

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели Примеры распределений 5. Равномерное распределение на отрезке (a; b) F(x) 1 a b x f(x) 6. Экспоненциальное распределение - интенсивность отказов

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели 2. 6. 1. Идея метода Монте-Карло – метода статистических испытаний Пример: вычисление значения определенного интеграла f Существуют аналитические, графические и численные методы интегрирования. Метод Монте. Карло – один из простых численных методов. c S = y a x 1. 2. Нанесем на рисунок равномерно набор случайных точек (обрызгаем чернилами) Рассчитываем количество точек: N – общее количество точек в прямоугольнике, M – количество точек под кривой. 3. Значение интеграла 4. 5. Вместо разбрызгивания чернил можно воспользоваться случайными числами. Идея использования случайных чисел и лежит в основе метода Монте-Карло. Сложность использования – необходимость большого количества случайных чисел N. Зато очень простой алгоритм и никаких формул. 6. 7.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели 2. 6. 1. Идея метода Монте-Карло – метода статистических испытаний Использование методики для моделирования операции мех. обработки Имеется модель детерминированной части системы (операции), рассчитывающей диаметр детали в зависимости от диаметра заготовки. Случайный фактор – диаметр заготовки. Поэтому и размер детали тоже случаен. модель • • Находим закон распределения dзаг и его параметры. Получаем достаточно большую выборку значений dзаг в соответствии с законом распределения Для каждого значения dзаг из выборки с помощью модели находим диаметр детали dдет Находим закон распределения диаметра детали dдет и его параметры. 2 основных этапа: 1. Нахождение закона распределения 2. Получение выборки в соответствии с законом распределения

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели 2. 6. 2. Нахождение закона распределения 3 варианта: 1. Закон распределения полностью известен (и вид распределения, и его параметры) 2. Например: задан размер с допуском. Из опыта известно, что размер подчиняется нормальному закону распределения. Тогда среднее = середине поля допуска. 3. По правилу 3 -х сигм Р(|d-dср| 6 )=0. 9973. Тогда поле допуска = 6. 4. Например: (из чертежа) 5. 6. Поле допуска Середина поля допуска Тогда:

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели 2. 6. 2. Нахождение закона распределения 2. Вид закона распределения известен, а его параметры неизвестны В реальных технологических процессах данные чертежа могут не совпадать с фактическими параметрами процесса. Но закон распределения размера практически всегда нормальный. Требуется найти его параметры из выборки (эксперимента). Выборочное среднее: Выборочная дисперсия: Определение размера выборки N: Доверительный интервал на математическое ожидание: - точность определения m по значению . P 0. 8 0. 999 t. P 1. 28 1. 64 2. 58 3. 3 Задаемся произвольным начальным значением N. Рассчитываем s и . Увеличиваем N пока на обеспечит требуемую точность расчета . (для каждого нового значения N рассчитываем s).

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели 2. 6. 2. Нахождение закона распределения 2. Вид закона распределения известен, а его параметры неизвестны В реальных технологических процессах данные чертежа могут не совпадать с фактическими параметрами процесса. Но закон распределения размера практически всегда нормальный. Требуется найти его параметры из выборки (эксперимента). Выборочное среднее: Выборочная дисперсия: Для распределения, отличного от нормального, по значениям рассчитываются параметры этого распределения. иs

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели 2. 6. 2. Нахождение закона распределения 3. • • О законе распределения ничего неизвестно Необходимо сначала найти вид закона, а затем определить его параметры. Вид закона распределения определяется перебором различных законов с проверкой принадлежности выборки проверяемому закону (производится по критерию 2). Разбиваем интервал [dmin; dmax] на M равных участков и рассчитываем частоты попадания случайной величины d на каждый из них: где ni – количество попаданий на интервал i; – размер интервала. Находим и s 2 и строим по ним теоретическую кривую плотности распределения для средин интервалов. Рассчитываем значение критерия 2 и определяем табличное значение критерия 2 табл(P, M-1) При 2 табл 2 выборка соответствует проверяемому закону распределения с доверительной вероятностью Р. Если условие принадлежности удовлетворяется для нескольких распределений, увеличиваем значение Р или выбираем распределение с минимальным 2.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели 2. 6. 3. Получение выборки по заданному закону распределения Закон распределения известен. Необходимо получить m значений случайной величины, в соответствии с этим законом. Для определения объема выборки m – смотри предыдущий параграф. Методы генерации случайной величины: 1. Использование таблиц случайных чисел 2. Физические датчики случайных чисел (генераторы шума) 3. Расчетные алгоритмы генерации псевдослучайных чисел 4. 5. 6. 7. Соотношения: Если имеется датчик СВ x со средним значением = 0 и дисперсией 2=1, то для других значений среднего и дисперсии случайную величину можно рассчитать по формуле y = + x Если имеется датчик СВ x, равномерно распределенной на интервале [0; 1], то для генерации СВ y, распределенной по закону F(y) используется формула y = F-1(x), где F-1 – обратная функция.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели 2. 6. 3. Получение выборки по заданному закону распределения Примеры использования соотношений: 1. Имеется датчик нормально распределенной СВ x со средним значением и дисперсией 2=1. Нужно сгенерировать значения размера . По правилу 3 -х сигм 3 =0, 03. Отсюда =0, 01. Случайную величину d можно рассчитать по формуле d = 40 + 0. 01 x. 2. 3. Необходимо генерировать СВ y, распределенную по экспоненциальному закону F(y) = 1 -exp(- y). Положим x = F(y). Тогда 4. Подставляя в эту формулу значения х, генерируемые по равномерному закону на интервале [0; 1], будем получать значения у по экспоненциальному закону. 5. Замечание: Соотношение (2) применимо только для аналитических функций распределения, для которых можно найти обратную функцию. Кроме того, требуются алгоритмы расчета псевдослучайных чисел, распределенных по равномерному закону.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели 2. 6. 3. Получение выборки по заданному закону распределения Генерация равномерно распределенных СВ: 1. ; где {} обозначают вычисление дробной части числа 2. 3. Пример: , где t – нечетное

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 6. Стохастические модели 2. 6. 3. Получение выборки по заданному закону распределения Генерация СВ, распределенных по нормальному закону: 1. 2. 3. 4. Свойства датчиков псевдослучайных чисел: Отрезок апериодичности – количество чисел, пока они не начнут полностью повторяться. Зависит от разрядной сетки ЭВМ и начального числа. Независимость реализаций СВ – отсутствие связи между xi и xi+1. Для приведенных датчиков выполняется плохо. Соответствие закону распределения – проверяется построением гистограммы и проверкой по критерию 2. 5. 6. ; где R 1, R 2 числа, распределенные по равномерному закону на интервале (0; 1). , где Ri - числа, распределенные по равномерному закону на интервале (0; 1).

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 7. Основы теории подобия 2. 7. 1. Размерности величин В теории подобия большую роль играют безразмерные величины. Они называются «Критерии подобия» и обозначаются буквой . Например: Правило: Для механических систем может быть использовано до 3 -х независимых размерностей. Базовые размерности: [L] – длина; [M] – масса; [T] – время. Можно использовать и другую систему размерностей. Вопрос: какую систему размерностей можно считать независимой (не выражающейся друг через друга)? Размерность [A] выражается через базовые степенной функцией Например: [Py] = н = м • кг • с-2 Определение: Величины А 1, А 2, А 3 имеют независимые размерности, если

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 7. Основы теории подобия 2. 7. 1. Размерности величин Примеры: 1. н, кг, м. н = м • кг • с-2 2. - независимые м/с, н, м. м/с=м • с-1 - независимые 3. кг, гц, кг • с. гц = с-1 - зависимые

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 7. Основы теории подобия 2. 7. 2. Представление моделей в безразмерной форме Эмпирические модели Например: эмпирическая формула колебаний маятника y = f(F, m, G, k, ). В эмпирической формуле 5 аргументов. Для ПФЭ – 25 = 32 эксперимента. Введем безразмерные комплексы и будем искать зависимость между ними. Размерности [ ]=c, [m]=кг, [F]=н – независимые. Будем использовать эти 3 аргумента как базовые, а для остальных построим безразмерные комплексы. - должен быть безразмерным, то есть размерность числителя [y]=м должна совпадать с размерностью знаменателя ca кгb (кг м /c 2)d = мd кгb+d ca-2 d. Рассмотрим совпадение размерностей по основным размерностям [L], [M] и [T]: [L]=м: d = 1 [M]=кг: b + d = 0 [T]=c: a - 2 d = 0 Решение: a = 2; b = -1; d = 1

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 7. Основы теории подобия 2. 7. 2. Представление моделей в безразмерной форме Эмпирические модели Аналогично: - должен быть безразмерным, то есть размерность числителя [G]=кг/с должна совпадать с размерностью знаменателя ca кгb (кг м /c 2)d = мd кгb+d ca-2 d. Рассмотрим совпадение размерностей по основным размерностям [L], [M] и [T]: [L]=м: d = 0 [M]=кг: b + d = 1 [T]=c: a - 2 d = -1 Решение: a = -1; b = 1; d = 0 - размерность числителя [k]=кг/с2 должна совпадать с размер ностью знаменателя ca кгb (кг м /c 2)d = мd кгb+d ca-2 d. [L]=м: d = 0 [M]=кг: b + d = 1 [T]=c: a - 2 d = -2 Решение: a = -2; b = 1; d = 0

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 7. Основы теории подобия 2. 7. 2. Представление моделей в безразмерной форме Эмпирические модели Вместо получения зависимости y = f(F, m, G, k, ) можно применить зависимость между безразмерными комплексами: Пу = (ПG, Пk). Значительно сократилось количество аргументов и вместо ПФЭ 25 можно использовать ПФЭ 22 !!!

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 7. Основы теории подобия 2. 7. 2. Представление моделей в безразмерной форме Теоретические модели Можно использовать ту же методику. Но можно поступить и проще: Зависимость будем искать в виде П 1 = (П 2, П 3).

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 7. Основы теории подобия 2. 7. 3. Применение методов теории подобия Физическое моделирование Для подобия 2 -х систем необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие критерии подобия были равны. 1 -я система: маятник 2 -я система: колебательный контур Как выбрать параметры L, R и C, чтобы колебательный контур был подобен маятнику? - масштабные соотношения.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 7. Основы теории подобия 2. 7. 3. Применение методов теории подобия Эмпирические модели 1. Запись зависимости в безразмерной форме позволяет сократить количество аргументов на количество независимых размерностей (для механических систем количество аргументов сокращается обычно на 3). Пример: Вместо получения зависимости y = f(F, m, G, k, ) можно применить зависимость между безразмерными комплексами: Пу = (ПG, Пk). 2. Получаемая зависимость обладает большим диапазоном применения (диапазоном адекватности). 3. Действительно, эмпирическая формула y = f(F, m, G, k, ) может применяться только при значениях аргументов, соответствующих проведенным экспериментам. Безразмерная зависимость Пу = (ПG, Пk) применима для диапазона изменения комплексов Пу, ПG, Пk. Т. к. , например, , при одновременном изменении G и m можно 4. 5. 6. обеспечить даже постоянство ПG, а тем более - небольшой диапазон его изменения.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 7. Основы теории подобия 2. 7. 3. Применение методов теории подобия Теоретические модели 1. Введение безразмерных критериев сокращает количество аргументов. 2. После сокращения количества аргументов можно аппроксимировать исходные (сложные) зависимости с целью их упрощения. При этом получаются модели, похожие на эмпирические, но обладающие диапазоном адекватности исходной теоретической модели.

2. Моделирование – основа системного анализа 2. 8. Выводы по разработке моделей 1. Если требуется широкий диапазон применения модели, предпочтительно использование теоретических моделей. Они хотя и более сложны, зато обладают большим диапазоном адекватности. 2. При слабом влиянии случайных факторов используют детерминированные модели или модели математического ожидания. Если влияние случайных факторов велико – нужно строить стохастическую модель, но это значительно усложнит процесс исследований. 3. В любом случае рекомендуется использовать зависимости в безразмерной форме, т. к. они упрощают модель и расширяют диапазон ее применения.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 1. Понятие ИСО Мы рассмотрели понятие системы и способы построения моделей систем. Рассмотрим теперь способы исследования моделей систем. ИСО – применение математических методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной деятельности человека. История: ИСО зародилось в США в военном деле и активно развивалось благодаря развитию вычислительной техники. Развитие и внедрение Автоматизированных Систем Управления (АСУ) дало дополнительные стимулы развитию ИСО. Операция: Управляемое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом для достижения заданной цели. Имена: • Russell Ackoff (Р. Акоф) – США • Е. С. Венцель – СССР • А. Шукис - Барнаул

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 1. Понятие ИСО Примеры задач ИСО: • План снабжения предприятий Тариф 1 База сырья 1 Тариф 2 Предприятие 1 Предприятие 2 . . . Тариф K Предприятие N База сырья M Задача: Минимизация затрат на перевозку 2. Выборочный контроль продукции Продукция 3. Партия Контроль Выбор объема партии и правил контроля для обеспечения заданного качества при min затрат.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 1. Понятие ИСО Примеры задач ИСО: 3. Проектирование операции механической обработки Параметры инструмента Режим резания Операция механической обработки Параметры качества детали Затраты на изготовление Параметры приспособления 4. Определить режим резания и другие параметры операции для обеспечения заданного качества детали при min затрат на ее изготовление.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 2. Постановка задачи ИСО Дано: Система (операция), характеризующая зависимость между входами Х и выходами Y В общем случае Y – функционал от Х. Прямая задача: Найти Y при заданном Х. Задача решается моделированием системы. Обратная задача: 1. Найти Х для заданного Y 2. Найти Х, обеспечивающий min или max Y 3. В общем случае Х = (Х 1, Х 2, …, Хn); Y = (Y 1, …Ym) 4. Обратная задача значительно сложней прямой. Обычно это задача оптимизации.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 1. Постановка задачи оптимизации Дано: 1. Функция цели 2. Множество допустимых значений (ограничения) Обычно множество Q задается системой неравенств и равенств: Найти: - критерий оптимальности 1. Ответ: Необходимо найти значение , удовлетворяющее критерию оптимальности 2. Эта задача называется задачей математического программирования.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 1. Постановка задачи оптимизации Локальный и глобальный экстремумы: Функция одного аргумента f(x): f x Локальные минимумы Глобальный минимум Аналогично и для функции нескольких аргументов.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 1. Постановка задачи оптимизации Условный и безусловный экстремумы: Если ограничения на аргументы отсутствуют – безусловный экстремум. Если ограничения есть – условный Преобразование задач: 1. 2. Если Q(x) – строго возрастающая функция 3. ПРИМЕР: 3. Преобразование ограничений

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 2. Классические методы анализа безусловного экстремума Необходимое условие экстремума: Достаточное условие: Функция f(x 1, …, xn) имеет min (max) в точке Р 0, если собственные значения матрицы все положительные (отрицательные). Достаточное условие для двух аргументов: Функция f(x 1, х2) имеет min (max), если определитель положителен (отрицателен). Для учета ограничений используется метод множителей Лагранжа.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 3. Линейное программирование Постановка задачи: Функция: Ограничения: Пример при n = 2 1 4 f=2 f=1 Линия уровня f = x 1+x 2 = 1 f = x 1+x 2 = 2 3 2

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 3. Линейное программирование Постановка задачи: Функция: Ограничения: Пример при n = 2 Линия уровня f = x 1+x 2 = 1 f = x 1+x 2 = 2 x 1 = x 2 = 4/3

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 3. Линейное программирование играет большую роль в технологии машиностроения при расчете режимов резания. Постановка задачи оптимизации режима резания при точении: Критерий оптимальности: Ограничения: После логарифмирования получается задача линейного программирования:

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 3. Линейное программирование Задача линейного программирования может иметь 1. Одно решение (смотри пример) 2. Не иметь решения из-за несовместимости ограничений 3. Не иметь решения из-за незамкнутости области ограничений Линия уровня 4. Иметь бесконечное множество решений, если линия уровня параллельна одной из границ Линия уровня

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 3. Линейное программирование Задача линейного программирования с двумя параметрами решается графическим методом. При этом решение находится в вершине допустимой области, задаваемой ограничениями. max Линии Линия уровня min Если параметров более двух используется графическое представление невозможно. Существует специальный алгоритм целенаправленного перебора вершин допустимой области – симплекс-метод линейного программирования.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 4. Нелинейное программирование Это наиболее общие методы оптимизации (прямые методы). Они являются пошаговыми методами: i – номер координаты; k – номер шага. Фактически это 3 группы методов, различающихся способом расчета шага h. 1. Градиентные методы (поиск max). • • • При приближении к экстремуму величина шага уменьшается, т. к. уменьшается значение производной (в точке экстремума шаг = 0). Критерий окончания поиска – малое значение шага. Вблизи от экстремума возможно зацикливание или застревание метода. При этом рекомендуется уменьшить значение h.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 4. Нелинейное программирование 2. Безградиентные методы – метод покоординатного спуска (min) или подъема (max). • • • Существует модификация метода, в которой первый шаг делается в направлении вектора-градиента, а затем продолжается движение в этом направлении. При смене направления снова вычисляется градиент. Это нечто среднее между градиентным и безградиентным методом. • • Движение производится вдоль осей. При этом делается шаг в одном направлении. Если он удачен – шаги в этом направлении продолжаются. Если неудачен – делается шаг в противоположном направлении. Критерий окончания – невозможность сделать шаг. В процессе движения шаг может быть постоянным или уменьшаться по какому-либо алгоритму. Существует вариант метода, в котором смена осей производится после каждого шага. Вблизи от экстремума возможно зацикливание или застревание метода. При этом рекомендуется уменьшить значение шага. На каждом шаге производится 1 -2 вычисления функции. Но траектория движения хуже и количество шагов больше.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 4. Нелинейное программирование 2. Безградиентные методы – метод деформируемого многогранника (поиск минимума). • • max Размещаем (задаем) 3 точки и сединяем их линиями – получаем треугольник. Находим точку с максимальным значением функции.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 4. Нелинейное программирование 2. Безградиентные методы – метод деформируемого многогранника (поиск минимума). • • • max Размещаем (задаем) 3 точки и сединяем их линиями – получаем треугольник. Находим точку с максимальным значением функции. Отражаем точку относительно противоположной стороны.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 4. Нелинейное программирование 2. Безградиентные методы – метод деформируемого многогранника (поиск минимума). • • max Размещаем (задаем) 3 точки и сединяем их линиями – получаем треугольник. Находим точку с максимальным значением функции. Отражаем точку относительно противоположной стороны. Если в новой точке самое минимальное значение, пытаемся закрепить успех – шагаем дальше.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 4. Нелинейное программирование 2. Безградиентные методы – метод деформируемого многогранника (поиск минимума). • • max • Размещаем (задаем) 3 точки и сединяем их линиями – получаем треугольник. Находим точку с максимальным значением функции. Отражаем точку относительно противоположной стороны. Если в новой точке самое минимальное значение, пытаемся закрепить успех – шагаем дальше. Если значение ухудшилось – уменьшаем шаг.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 4. Нелинейное программирование 2. Безградиентные методы – метод деформируемого многогранника (поиск минимума). • • max • • • В результате это алгоритма треугольник как бы переворачивается одновременно изменяя свои размеры. Метод мало чувствителен к оврагам функции, а по траектории движения приближается к градиентным. На каждом шаге вычисляется 2 -3 значения функции независимо от n. • • Размещаем (задаем) 3 точки и сединяем их линиями – получаем треугольник. Находим точку с максимальным значением функции. Отражаем точку относительно противоположной стороны. Если в новой точке самое минимальное значение, пытаемся закрепить успех – шагаем дальше. Если значение ухудшилось – уменьшаем шаг. Если ни один из трех вариантов не дает улучшения – уменьшают размер треугольника. Далее все эти действия повторяются. Критерий окончания – малые размеры треугольника. Минимум – внутри треугольника.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 4. Нелинейное программирование 3. Методы случайного поиска – направление выбирается случайным и на каждом шаге проверяется уменьшение (увеличение) значения функции. • • • На каждом шаге 1 раз вычисляется функция. Траектория движения к экстремуму самая плохая – много шагов. Но зато очень простой алгоритм. В процессе движения шаг может быть постоянным или уменьшаться по какому-либо закону. Критерий окончания – невозможность сделать шаг. Существуют методы перебора точек допустимой области – с заданным шагом или со случайными координатами. После перебора выбирается точка с наилучшим значением.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 4. Нелинейное программирование Рекомендации: 1. Градиентные методы применяются при сравнительно простых аналитических значениях функции f. 2. Безградиентные методы используют при более сложных, в том числе и неаналитических функциях. 3. Методы случайного поиска рекомендуется использовать при решении задач с ограничениями или когда необходимо быстро создать программу.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 4. Нелинейное программирование Для учета ограничений существуют специальные методы. Например в методе проектирования вектора градиент проектируется на границу допустимой области и движение продолжается вдоль границы. Метод штрафных функций для учета ограничений: F(x) max Ограничения: i (x) 0; i = 1 … m Новая функция: где штраф В допустимой области (x) = F(x). При выходе за границу из F(x) вычитается штраф. Чем больше i, тем больше штраф. Но вдоль границы образуется овраг, приводящий к «застреванию» метода оптимизации. Метод деформируемого многогранника мало чувствителен к оврагам (многогранник вытягивается вдоль оврага).

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 9 12 13 14 5 Заготовка 15 13 11 18 16 9 14 7 20 13 15 20 8 Черновое точение 12 13 Чистовое точение 20 20 18 30 25 27 20 11 16 18 25 20 Деталь 10 Предварит. шлифование Окончательное шлифование Если использовать метод перебора – получаем громадное количество вариантов.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 9 12 13 14 5 Заготовка 15 13 11 18 16 9 14 7 20 13 15 20 16 20 18 30 25 25 18 20 27 20 11 8 Черновое точение 12 13 Чистовое точение 20 10 Предварит. шлифование 25 20 20 Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 9 12 13 14 5 Заготовка 18 16 9 14 7 20 13 15 20 40 16 20 18 30 25 25 18 8 Черновое точение 12 13 Чистовое точение 20 20 27 20 11 1 -й вариант 15 13 11 10 Предварит. шлифование 25 20 20 Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 9 12 13 14 5 Заготовка 18 16 9 14 7 20 13 15 20 41 16 20 18 30 25 25 18 8 Черновое точение 12 13 Чистовое точение 20 20 27 20 11 2 -й вариант 15 13 11 10 Предварит. шлифование 25 20 20 Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 9 12 13 14 5 Заготовка 15 13 11 18 16 9 14 7 20 13 15 20 38 16 20 18 30 25 25 18 20 27 20 11 8 12 Черновое точение 3 -й вариант - оптимальный 13 Чистовое точение 20 10 Предварит. шлифование 25 20 20 Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 9 12 13 14 5 Заготовка 15 13 11 18 16 9 14 7 20 13 20 38 15 16 20 18 30 25 25 18 40 20 27 20 11 8 Черновое точение 12 13 Чистовое точение 20 10 Предварит. шлифование 25 20 20 Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 9 12 13 14 5 Заготовка 15 13 11 18 16 9 20 11 Черновое точение 12 13 Чистовое точение 16 20 18 30 25 25 18 40 20 13 8 15 14 7 20 38 20 20 47 27 10 Предварит. шлифование 25 20 20 Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 9 12 13 14 5 Заготовка 15 13 11 18 16 9 20 11 Черновое точение 12 16 20 18 30 25 25 18 40 20 13 8 15 14 7 20 38 20 47 13 20 27 10 25 20 20 35 Чистовое точение Предварит. шлифование Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 13 11 66 9 12 13 14 78 65 56 5 60 11 68 Черновое точение 15 12 20 Чистовое точение 2 варианта с одинаковой стоимостью 20 18 30 25 40 25 20 20 47 13 60 16 18 20 13 8 18 16 20 38 14 7 73 Заготовка 9 15 53 27 10 25 20 20 35 Предварит. шлифование Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 13 11 66 9 12 13 14 78 65 56 5 60 11 68 Черновое точение 1 -е решение 15 12 20 Чистовое точение 20 18 30 25 40 25 20 20 47 13 60 16 18 20 13 8 18 16 20 38 14 7 73 Заготовка 9 15 53 27 10 25 20 20 35 Предварит. шлифование Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 13 11 66 9 12 13 14 78 65 56 5 60 11 68 Черновое точение 2 -е решение 15 12 20 Чистовое точение 20 18 30 25 40 25 20 20 47 13 60 16 18 20 13 8 18 16 20 38 14 7 73 Заготовка 9 15 53 27 10 25 20 20 35 Предварит. шлифование Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование Этот метод используется для оптимизации аддитивных функций Рассмотрим пример оптимизации структуры ТП: 13 11 66 9 12 13 14 78 65 56 5 60 11 68 Черновое точение 3 -е решение 15 12 20 Чистовое точение 20 18 30 25 40 25 20 20 47 13 60 16 18 20 13 8 18 16 20 38 14 7 73 Заготовка 9 15 53 27 10 25 20 20 35 Предварит. шлифование Окончательное шлифование Деталь

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 5. Динамическое программирование В основе динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана: каковы бы ни были начальное состояние и решения до некоторого момента, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате принятых решений. Динамическое программирование используется при решении задач 1. оптимального управления 2. структурной оптимизации (в том числе и структурная оптимизация технологических процессов)

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 6. Целочисленное (дискретное) программирование Рассмотрим задачу линейного программирования: Эта задача легко решается. В задаче целочисленного программирования аргументы xi могут принимать только целочисленные значения: 1, 2, 3, … В задаче дискретного программирования xi может принимать только определенные, но не обязательно целочисленные значения (например, список значений подач станка). Как решать эту задачу? Первая идея: решаем обычную задачу линейного программирования, а затем округляем решение до ближайшего целого (или в меньшую сторону). ЭТО НЕПРАВИЛЬНО!!!

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 6. Целочисленное (дискретное) программирование Пример: f=20 f=30 (1) (2) (3) (4)

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 6. Целочисленное (дискретное) программирование Пример: max f = 49 (линейное программирование)

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 6. Целочисленное (дискретное) программирование Пример: max f = 32 (округление) max f = 49 (линейное программирование)

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 6. Целочисленное (дискретное) программирование Пример: max f = 32 (округление) max f = 34 (целочисленное программирование) max f = 49 (линейное программирование)

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 6. Целочисленное (дискретное) программирование Пример 2: Решение задачи линейного программирования: Решение задачи целочисленного программирования:

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 6. Целочисленное (дискретное) программирование Методы решения задачи целочисленного программирования: 1. • • • Метод отсечения: Решение задачи линейного программирования Если решение не целочисленное, то добавляется ограничение, убирающее это решение Процедура повторяется, пока не будет получено целочисленное решение 2. • • Метод ветвей и границ Решение задачи линейного программирования Если решение не целочисленное, то множество допустимых решений разбивается на два подмножества, исключающие найденное решение Процедура повторяется, пока не будет получено целочисленное решение • 3. 4. Алгоритмы перебора точек в допустимой области Пример задачи – оптимизация режимов резания для станков со ступенчатым приводом подачи и/или частоты вращения.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 3. Методы однокритериальной оптимизации 3. 3. 6. Целочисленное (дискретное) программирование Оптимизация режимов резания для станка со ступенчатыми приводами подачи и частоты вращения: Дано: Функция цели F(S, n) – себестоимость, производительность и т. п. Ограничения Найти: S и n, удовлетворяющие ограничениям и обеспечивающие экстремум функции цели. Решение: Перебор значений Si, ni. Для каждой пары проверяем ограничения и выбираем такую, для которой наилучшее значение функции цели. Например: для станка 1 К 62 имеется 24 ступени чисел оборотов n и 28 ступеней подач S. Итого, имеется 24*28 = 672 допустимые точки. Перебираем эти точки, проверяем для каждой ограничения (получение заданной шероховатости, точности, сила резания не превышает прочности резца, мощность резания не превышает мощности двигатели и т. п. ) и вычисляем функцию цели (например – себестоимость). Затем выбираем точку, удовлетворяющую ограничениям и с оптимальным значением целевой функции. Если время вычислений для каждой точки 0, 1 с, то общее время решения 67, 2 с.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 4. Многокритериальной оптимизация Задача нахождения максимума или минимума нескольких функций является математически некорректной. Примеры: 1. Найти режимы резания, обеспечивающие максимальную производительность и минимальную себестоимость операции. 2. 3. min C при S = 0. 25 4. max П при S = 0. 4 Парето-оптимальная область

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 4. Многокритериальной оптимизация Задача нахождения максимума или минимума нескольких функций является математически некорректной. Примеры: 2. Найти режимы резания, обеспечивающие минимальные себестоимость операции С и шероховатость обработанной поверхности Ra. min Ra не совпадает с min C. Проблема решения возникает из неправильной постановки задачи: min Ra на самом деле не требуется. На самом деле нужно обеспечить шероховатость, указанную на чертеже: Ra ≤ Ra заданное Лучший способ решения многокритериальной задачи – не ставить ее. А если задача поставлена?

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 4. Многокритериальной оптимизация Дано: Критерии оптимальности F 1(X), F 2(X), …, FK(X) Найти: X Xдоп и обеспечивающий Методы решения: 1. Упорядочим критерии по степени важности. 2. Пусть F 1 важнее F 2 важнее … FK. 3. Присвоим каждому критерию вес Wi, пропорциональный его важности: 4. W 1>W 2>…. >WK (иногда добавляют условие нормировки: W 1+W 2+…. +WK = 1) 5. 6. 7. 8. 9. Однокритериальная задача для свертки Вопрос выбора весовых коэффициентов Wi остается открытым. Обычно используют экспертные оценки. Фактически неопределенность из области критериев F перенесена в область весовых коэффициентов Wi.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 4. Многокритериальной оптимизация Дано: Критерии оптимальности F 1(X), F 2(X), …, FK(X) Найти: X Xдоп и обеспечивающий Методы решения: 2. Выберем наиболее важный критерий, а для остальных зададим оценки минимальных значений. 3. Пусть F 1 - наиболее важный критерий, а для F 2 … FK задаем оценки F 2 min … Fkmin. Получаем однокритериальную задачу: Вопрос задания минимальных значений критериев остается открытым. Фактически неопределенность из области критериев F перенесена в область ограничений. 3. Комбинация 1 и 2 способа: из части критериев составляется свертка, а остальные критерии переносятся в ограничения. Используется при сложностях оценок весовых коэффициентов и/или оценок для критериев.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 4. Многокритериальной оптимизация Дано: Критерии оптимальности F 1(X), F 2(X), …, FK(X) Найти: X Xдоп и обеспечивающий Еще раз: постановка задачи математически некорректна. При ее решении неопределенность переносится из одной области в другую. С другой стороны: в зависимости от конкретной ситуации с помощью весовых коэффициентов и/или оценок для критериев можно акцентировать внимание к разным критериям. (например, сегодня важнее производительность, а завтра – себестоимость).

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 5. Принятие решений в условиях неопределенности Дано: Критерий оптимальности F = F(X, ), где - неизвестные факторы. Найти: X Xдоп и обеспечивающий Функция содержит неизвестные факторы, значит и ее значение неизвестно. Как найти минимум функции значение которой неизвестно? Задача математически некорректна. Примеры задач: 1. Построение обороны противника, действия которого неизвестны. 2. Разработка плана выпуска продукции при неизвестном спросе не нее. 3. Разработка операции механической обработки при случайных (неизвестных) параметрах заготовки. 4. При поездке на природе какие вещи брать с собой, если неизвестен точный прогноз погоды? 5. ИСО представляет собой искусство давать плохие ответы на практичес-кие вопросы , на которые даются еще худшие ответы другими методами. 6. Саати

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 5. Принятие решений в условиях неопределенности Случай 1. случайны и известно их распределение (Венцель: доброкачественная неопределенность). Заменим . Получим обычную однокритериальную задачу оптимизации. Фактически это замена стохастической модели моделью математического ожидания. При малом влиянии получаем хорошие результаты. Но даже при большом влиянии получаем выигрыш в среднем (при большом количестве реализаций). Но лучше использовать критерий: где f( ) – плотность распределения . Пример: Планируется работа ремонтной службы на предприятии. Система отказов оборудования – случайна. Простои приводят к потерям. Если для планирования использовать среднее время ликвидации неисправности, то сложные станки будут долго ремонтироваться и будут получены большие потери из-за простоев. Лучше использовать критерий где Рi – вероятность выхода из строя i-го станка; Fi(X) – затраты на ремонт + стоимость простоя.

3. Основы исследования операций (ИСО) 3. 5. Принятие решений в условиях неопределенности Случай 2. Распределение неизвестно. Возможно. Что оно и существует, но на данный момент неизвестно. Например: Проектирование нового прибора – нет аналогов. Выпуск современной одежды – нет точных данных о моде и спросе. Решение: Первый способ: адаптационные алгоритмы принятия решений в процессе эксплуатации. В время работы анализируется распределение и принимается решение. Чем дольше используется алгоритм, тем точнее будет решение (адаптация, обучение). Второй способ: 1. Критерий Вальда (минимаксный, осторожного наблюдателя): 2. Критерий Гурвица. Задаемся коэффициентом доверия 3. 4. При = 0 получается критерий Вальда. При = 1 – критерий «здорового оптимиста» . 5. Существуют и другие критерии.

Дополнительные материалы Приближение функций сплайнами Обычно для аппроксимации и интерполяции используют полиномы: y = a 0+a 1 x+a 2 x 2+…+anxn. Преимущества полиномов: 1. Легко найти коэффициенты (по МНК – система линейных алгебраических уравнений) 2. Легко производить расчеты с полиномами: y = (…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a 1)x+a 0 3. Недостаток: При малом и большом n получается низкая точность аппроксимации. 4. n слишком мало

Дополнительные материалы Приближение функций сплайнами Проблемы с выбором n привели к использованию кусочной аппроксимации. Например, для 3 точек используем дугу окружности, затем для следующих 3 – новую дугу и т. д. Можно использовать и отрезки прямых (2 точки). Именно так работают многие интерполяторы станков с ЧПУ. Однако, в точках сопряжения получаются изломы. Для устранения этого дефекта потребуем в точках сопряжения равенства производных (совпадения касательных) – получим гладкую кривую, которая называется сплайном. Аналог такого построения – использования лекал. Иногда требуют совпадения производных и более высокого порядка – более гладкая кривая.

Дополнительные материалы Приближение функций сплайнами Параболические сплайны: Пусть известно. Тогда для определения : y 2 y 1 3 уравнения с 3 неизвестными y 0 x 1 x 2 Для нахождения необходимо задать Для замкнутых кривых Для незамкнутых можно определить по первым 3 точкам или использовать более сложные критерии (минимум энергии кривой).

Дополнительные материалы Метод конечных элементов Численный метод решения задач деформации, теплопроводности, гидромеханики и т. п. Идея метода: аппроксимация среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках. Основные этапы решения: Нагрузка 1. Построение модели и задание нагрузок

Дополнительные материалы Метод конечных элементов Численный метод решения задач деформации, теплопроводности, гидромеханики и т. п. Идея метода: аппроксимация среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках. Основные этапы решения: Закреплено 1. Построение модели и задание нагрузок 2. Задание граничных условий

Дополнительные материалы Метод конечных элементов Численный метод решения задач деформации, теплопроводности, гидромеханики и т. п. Идея метода: аппроксимация среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках. Основные этапы решения: 1. Построение модели и задание нагрузок 2. Задание граничных условий 3. Задание конечных элементов

Дополнительные материалы Метод конечных элементов Численный метод решения задач деформации, теплопроводности, гидромеханики и т. п. Идея метода: аппроксимация среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках. Основные этапы решения: 1. Построение модели и задание нагрузок 2. Задание граничных условий 3. Задание конечных элементов 4. Решение 5. Представление решения в удобном для анализа виде - Выделение цветом

Дополнительные материалы Метод конечных элементов Численный метод решения задач деформации, теплопроводности, гидромеханики и т. п. Идея метода: аппроксимация среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках. Основные этапы решения: 1. Построение модели и задание нагрузок 2. Задание граничных условий 3. Задание конечных элементов 4. Решение 5. Представление решения в удобном для анализа виде - Выделение цветом - Линии уровня

Дополнительные материалы Метод конечных элементов Численный метод решения задач деформации, теплопроводности, гидромеханики и т. п. Идея метода: аппроксимация среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью простых элементов, имеющих конечное число степеней свободы и связанных между собой в узловых точках. Основные этапы решения: 1. Построение модели и задание нагрузок 2. Задание граничных условий 3. Задание конечных элементов 4. Решение 5. Представление решения в удобном для анализа виде - Выделение цветом - Линии уровня - Имитация деформации

Дополнительные материалы Программные системы для моделирования Существуют различные языки программирования, позволяющие моделировать ранее описанные алгоритмы. Но есть специальные программные средства для реализации моделей. Примеры: 1. Табличный процессор Excel. 2. Возможности: • Расчет по достаточно сложным формулам • Развитая система встроенных функций • Мощная система для построения графиков, включающая в себя методы аппроксимации • Специальные средства для автоматизации сложных расчетов (решение уравнений, методы оптимизации, статистические расчеты и др. ) • Встроенная система программирования на базе макросов и включающая язык программирования VBA и экранные формы • Имеется практически на любом компьютере (входит в состав Microsoft Office)

Дополнительные материалы Программные системы для моделирования Примеры: 2. Система автоматизации математических расчетов Math. Cad. Возможности: • • Запись математических выражений практически на обычном языке математики Работа с векторами и матрицами Простая реализация циклов и разветвляющихся алгоритмов Мощная система для построения различных графиков, в том числе в логарифмическом масштабе и в полярных координатах Очень развитая система математических расчетов (дифференцирование, интегрирование, решение уравнений и систем уравнений, гармонический анализ и т. п. ) Оптимизация вычислений Возможность аналитического решения задачи 3. Система инженерных и научных расчетов Mat. Lab Возможности: • • • Интерпретатор, обладающей колоссальной скоростью вычислений и открытой структурой Ориентирован на работу с матрицами, где ему нет равных Мощная и гибкая графическая система Содержит средства для объектно-ориентированного программирования Позволяет выполнять символьные вычисления Содержит метод конечных элементов для решения простых задач расчета деформаций, напряжений, магнито- и электростатики и др. Пакет для моделирования Simulink •