Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович,

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА – продукты – технологические процессы 1

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Производственной матрицей называется матрица – количество j-го продукта, потребленное или произведенное i-ым технологическим процессом. – потребление – производство НЕ ПУТАТЬ С МОДЕЛЬЮ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ! 2

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Простая линейная модель – частный случай линейной модели производства. Для простой модели выполняются следующие предположения: 1. Каждый технологический процесс производит только один продукт. 2. Каждый продукт производится одним и только одним технологическим процессом. Для простой модели смысл производственной матрицы другой! 3

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Предположим, что в модели с матрицей A требуется произвести набор продуктов Существует ли производственная программа, при которой это ? возможно? Пусть – интенсивность использования технологического процесса Потребление продуктов в этом случае: 4

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Количества продуктов, потребляемых ВСЕЙ моделью определяется вектором: Чистая продукция: Теперь вопрос о допустимости производственного плана можно записать формально: Существует ли для заданного вектора y неотрицательно решение уравнения ? Такое решение существует, но не всегда! 5

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Что такое «продуктивность» ? – производим больше, чем потребляем. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Простая линейная модель с матрицей потребления A будет называться продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор , что В этом случае мы будем говорить, что сама матрица A является продуктивной. 6

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ТЕОРЕМА Если матрица A продуктивная, то для любого неотрицательного вектора y уравнение имеет единственное неотрицательное решение. ЛЕММА Если матрица A продуктивная и , то . 7

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ СЛЕДСТВИЕ 1 Если матрица A продуктивная, то матрица (I-A) будет невырожденной (то есть ее ранг равен m). СЛЕДСТВИЕ 2 Матрица A является продуктивной, тогда и только тогда, когда матрица (I-A)-1 неотрицательна. Хороший инструмент для распознавания продуктивных матриц! 8

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Полупродуктивные матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ Матрица потребления A называться полупродуктивной, если для некоторого выполняется неравенство ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть A – полупродуктивная. В этом случае j-й технологический процесс называется продуктивным, если существует вектор , для которого выполняется неравенство 9

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Если Pj – продуктивный, а Pi – непродуктивный, то . производимые не производимые продукты продуктивные процессы непродуктивные процессы Нельзя ничего получить, используя непродуктивные технологические процессы! 10

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Введем вектор цен: – цена единицы продукта Прибыль i-го техноло- гического процесса: Вектор прибыли для всей модели: Какие значения могут быть у вектора прибыли и от чего они зависят? 11

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ТЕОРЕМА Если матрица A продуктивная, то для любого неотрицательного вектора прибыли q существует единственный неотрицательный вектор цен p, для которого Можно получить любую прибыль! 12

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Динамические свойства простой модели Для плановой экономики все легко! А если единого Пусть есть вектор начального управляющего органа спроса на продукты: нет? Производство Спрос на 13

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Процессы формируют свой спрос для удовлетворения : ЛЕММА Если матрица A продуктивна, то Для того, чтобы процесс формирования итогового спроса сходился необходимо, чтобы матрица была продуктивна. А к чему будет сходиться? 14

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ТЕОРЕМА Пусть y – произвольный вектор, а вектор xn определяется по формуле Тогда, если матрица A продуктивная, то 0 (по Лемме) 15

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВА ЛЕОНТЬЕВА – количество продукта Gj , необходимого в год для ежегодного выпуска одной единицы Gi. Но самое главное в том, что здесь учитывается не только сырье, но и оборудование, труд рабочих и т. п. средства производства! ОПРЕДЕЛЕНИЕ Производственными факторами называются продукты, удовлетворяющие условиям: 1. они не могут быть воспроизведены ни в каком технологическом процессе модели; 2. они имеются в ограниченном количестве; 3. они используются во всех процессах. 16

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Простая линейная модель Леонтьева ОПРЕДЕЛЕНИЕ Простая модель Леонтьева является простой моделью производства, в которой имеется единственный производственный фактор G 0 , который мы будем называть трудом. В дальнейшем мы будем выбирать единицу измерения труда таким образом, чтобы суммарное его количество равнялось 1. ! Прибыль каждого технологического процесса будет полностью уходить на оплату труда, т. е. прибыль процессов = 0! 17

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ТЕОРЕМА В простой модели Леонтьева всегда существует единственный (с точностью до сомножителя) вектор цен p, при котором прибыль каждого технологического процесса равна 0. столбец, соответствующий труду матрица A, без столбца a 0 18

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Общая модель Леонтьева Общая модель удовлетворяет всем условиям, наложенным на простую модель, кроме того, что каждый продукт может быть произведен только одним процессом. Число процессов больше числа Пусть Sj – множество все продуктов! технологических процессов, производящих Gj ОПРЕДЕЛЕНИЕ Множество Y={y} называется пространством выпуска продукции, если векторы выпуска строятся для всех x, элементы которых удовлетворяют условию 19

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ТЕОРЕМА о замещении Если общая модель Леонтьева является продуктивной, то существует такое множество из n технологических процессов , что простая модель Леонтьева, составленная из этих технологических процессов, имеет то же пространство выпуска, что исходная модель. Построение простой модели осуществляется путем решения задачи линейного программирования по минимизации затрат труда при ограниченном выпуске. (В простую модель включаются процессы, интенсивность использования которых в ходе решения не обнуляется. ) 20

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ О прямой и двойственной задачах линейного программирования прямая задача: двойственная задача: если – решение прямой задачи, – решение двойственной задачи, то 21

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Для модели Леонтьева в прямой задаче требуется указать путь производства заданного набора продуктов с минимальными затратами труда в двойственной задаче нужно указать множество цен, которые будут максимизировать суммарную стоимость этого набора продуктов. 22

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВА В любом процессе могут как потребляться, так и производиться любые количества различных продуктов. На число имеющихся производственных факторов ограничений нет. Если B – производственная матрица (строки – процессы, столбцы – продукты), то при заданном векторе затрат x мы получим вектор выпуска y по формуле – для модели Леонтьева – для общей линейной модели 23

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Множество неотрицательных решений неравенства называется пространством затрат модели и обозначается X. Пространство выпуска Y состоит из векторов y, удовлетворяющих уравнению для всех ОПРЕДЕЛЕНИЕ Вектор называется экстремальным, если не существует такого вектора , что . 24

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ТЕОРЕМА Если множество Y является пространством выпуска общей линейной модели, то для того, чтобы вектор был экстремальным, необходимо и достаточно, чтобы существовал положительный вектор цен p, удовлетворяющий неравенству для всех 25

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ РАСШИРЯЮЩАЯСЯ МОДЕЛЬ НЕЙМАНА – технологические процессы – продукты Матрица затрат Матрица выпуска x – вектор интенсивностей Модель будем x. A – вектор затрат обозначать так: x. B – вектор выпуска (A, B) 26

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Условие 1. В матрице выпуска нет ни одного нулевого столбца. Условие 2. В матрице затрат нет ни одной нулевой строки. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Говорят, что модель (А, В) является расширяющейся с темпом роста не меньшим, чем ( >0), если для некоторого вектора интенсивностей x выполняется неравенство 27

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Для модели (А, В) задача определения технологического роста состоит в поиске полуположительного вектора интенсивностей x и числа , исходя из условия: ОПРЕДЕЛЕНИЕ – технологический темп роста (если >0) 28

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ТЕОРЕМА о существовании Для модели, удовлетворяющей условиям 1 и 2 технологический темп роста существует и положителен. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Для модели (А, В) задача определения экономического роста состоит в поиске неотрицательного вектора цен p и числа , исходя из условия: 29

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОПРЕДЕЛЕНИЕ – экономический темп роста (если >0) ТЕОРЕМА о существовании Для модели, удовлетворяющей условиям 1 и 2 экономический темп роста существует и положителен. ЛЕММА Для модели, удовлетворяющей условиям 1 и 2 между темпами роста наблюдается соотношение 30

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ТЕОРЕМА Фон Неймана Если модель (A, B), удовлетворяет условиям 1 и 2, то для нее существуют полуположительный вектор интенсивностей полуположительный вектор цен некоторое число для которых верно следующее: (1) (1*) Из следует (2) следует (2*) 31

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОПРЕДЕЛЕНИЕ В модели фон Неймана множество индексов называется независимым подмножеством, если каждый продукт из этого подмножества можно произвести не потребляя продуктов из других подмножеств. Формальную запись этого определения сделать самим! ОПРЕДЕЛЕНИЕ Модель (А, В) называется неприводимой, если в ней нельзя выделить независимое подмножество, отличное от всего множества продуктов модели. 32

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ТЕОРЕМА двойственности Если модель (А, В) неприводима, то её технологический и экономический темпы роста совпадают. ВНИМАНИЕ! Здесь неприводимые подмножества могут пересекаться! (1, 2) – независимое (2, 3) - независимое 33

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ПРОСТАЯ РАСШИРЯЮЩАЯСЯ МОДЕЛЬ НЕЙМАНА ОПРЕДЕЛЕНИЕ Модель Неймана называется простой, если число продуктов в ней равняется числу процессов, а матрица выпуска – единичная. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Для простой модели задача определения технологического роста состоит в поиске полуположительного вектора интенсивностей x и числа , исходя из условий: 34

Математическое моделирование национальной экономики Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ТЕОРЕМА Если x 0 и 0 – решения задачи технологического роста, то ТЕОРЕМА Если А – неприводима, то 0 = 0 и оптимальный вектор интенсивностей будет положителен и единственен с точностью до сомножителя. 35