Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович к

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА 1

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОСНОВНОЕ БАЛАНСОВОЕ СООТНОШЕНИЕ N – количество отраслей. Xi – совокупный выпуск каждой i-й отрасли. xij – количество продукции отрасли i, предназначенное для производства продукции, выпускаемой отраслью j. Yi – конечная продукция отрасли i. Величины xij и Yi часто называют промежуточной и конечной продукцией отрасли i. 2

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Принципиальная схема межотраслевого баланса производящие отрасли потребляющие отрасли конечная валовая продукция 1 2 … N 1 x 12 … x 1 N Y 1 X 1 2 x 22 … x. N 2 v 2 … … Y 2 … YN vкон X 2 … XN — чистый доход m 1 m 2 III … x 2 N … x. NN v. N II оплата труда x 21 … x. N 1 v 1 кон — валовая продукция X 1 X 2 … … N I m. N IV m XN — X 3

Математическое моделирование экономических систем Межотраслевые балансы бывают: натуральные стоимостные натурально-стоимостные Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Далее, если специально не будет оговорено, речь пойдет о стоимостном балансе. xij – стоимость средств производства, произведенных в отрасли i, и потребленных в качестве материальных затрат отраслью j. Yi – стоимость продукции отрасли i, выходящей из области материального производства в сферу конечного потребления (личного и общественного). Суммы средств по столбцам и по строкам дают объемы валового выпуска: 4

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ РОБИНЗОН НА ОСТРОВЕ ПРИМЕР 5

Математическое моделирование экономических систем Потребление в 1 день: Еда: 1 корзина Дрова: 3 охапки Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Возможное производство в 1 день: Еда: Дрова: Топоры: Бумеранги: 10 корзин 20 охапок 5 топоров 10 бумерангов Расход материалов за 1 день деятельности: Охота: 2 бумеранга Лесозаготовки: 1 топор Отдых после 1 дня деятельности: Всего нужно прожить 100 дней. Охота: 0, 25 свободных дней Лесозаготовки: 0, 5 свободных дней Изготовление орудий: 0, 25 свободных дней 6

Математическое моделирование экономических систем Еда Дрова Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Орудия Y X Еда 10 к. 15 к. 70 к. 100 к. Дрова 30 ох. 45 ох. 15 ох. 210 ох. 300 ох. Орудия 20 б. 15 т. 0 0 20 б+15 т. ? Отдых 2, 5 св. д. 7, 5 св. д. 1, 25 св. д. ? ? Доход ? ? ? X X Пусть – цена i-го продукта. Введем денежную единицу: 1 трудодень (тр. д. ). 7

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ 1 тр. д. = 10 корзин 1 к. = 0, 1 тр. д 20 охапок 1 ох. = 0, 05 тр. д. 5 топоров 1 т. = 0, 2 тр. д. 10 бумерангов 1 б. = 0, 1 тр. д. 1 свободный день = ? 1 св. д. = 1 к. + 3 ох. = 0, 1 тр. д. + 0, 15 тр. д. = 0, 25 тр. д. Еда Дрова Орудия Y X Еда Дрова Орудия 1 1, 5 2, 25 3 0, 5 0, 75 0 Отдых Доход X 0, 625 1, 875 0, 3125 7 10, 5 0 2, 8125 4, 875 6, 375 3, 4375 14, 6875 - 10 15 5 - 30 10 15 5 8

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ 3 вопроса: 1. От чего зависит объем промежуточной продукции каждой отрасли? 2. Как по заданным валовым выпускам рассчитать конечную продукцию каждой отрасли? 3. Как решить обратную задачу – по заданной конечной продукции определить объем валовых выпусков во всех отраслях? ОПРЕДЕЛЕНИЕ Для любой пары i и j отраслей коэффициент прямых затрат определяется следующим образом: 9

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Из коэффициентов прямых затрат может быть составлена матрица прямых затрат Основное балансовое соотношение в матричной форме: ОПРЕДЕЛЕНИЕ Матрица называется матрицей полных затрат или оператором планирования статической модели межотраслевого баланса. (i, j)-ый элемент этой матрицы показывает, сколько в целом необходимо произвести продукции i-ой отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-ой отрасли. 10

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Матрица прямых затрат A называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор x, для которого выполняется неравенство ТЕОРЕМА Если матрица A продуктивная, то для любого вектора конечного выпуска уравнение имеет единственное неотрицательное решение 11

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Следствие 1 Если матрица прямых затрат продуктивная, то матрица (I-A) будет невырожденной. Следствие 2 Матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда матрица (I-A)-1 неотрицательна. Самостоятельно! 12

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Понятие продуктивности матрицы A можно определить и по отношению к ценам на продукцию. Будем говорить, что матрица A продуктивна, если существует такой полуположительный вектор цен p, для которого выполняется неравенство ТЕОРЕМА Для продуктивности A необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих условий: 1. Все главные миноры матрицы (I-A) положительны и меньше единицы. 2. Все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы. 3. Матрица (I-A) полуположительна (т. е. все ее элементы неотрицательны). 13

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Кроме этого для продуктивности матрицы A достаточно, чтобы выполнялось условие ( ) Это условие эквивалентно тому, что при заданной системе цен, в каждой отрасли создается чистая условная продукция. А если матрица A продуктивна, но условие ( ) не выполняется, то всегда можно подобрать такие цены, что это условие будет выполняться. Если же матрица прямых затрат окажется непродуктивной, то никакая система цен не обеспечит выполнения условия ( ). 14

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Хотим выпустить Прямые затраты на прирост выпуска Косвенные затраты для обеспечения выпуска, вызванного прямыми затратами (косвенные затраты первого уровня) … косвенные затраты второго, третьего и т. д. уровней 15

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ - конечный продукт - прямые затраты на выпуск конечного продукта - косвенные затраты первого уровня (выпуск, необходимый для производства AY ) - косвенные затраты второго уровня (выпуск, необходимый для производства косвенных затрат первого уровня ) Для продуктивных матриц имеет место соотношение 16

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Матрица косвенных затрат B определяется соотношением: 17

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Развитие модели МОБ Если существует конечное количество товаров N, то выбор потребителя можно охарактеризовать вектором где количество j-го товара, приобретенного потребителем. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Множество всех возможных наборов товаров называется пространством товаров. На пространстве товаров можно определить непрерывную функцию U(c), удовлетворяющую условию если набор предпочтительнее набора Такая функция называется функцией полезности. . 18

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Оптимизация в открытой статической модели МОБ Будем предполагать, что полезность каждого вида производимой в модели МОБ продукции задается с помощью положительного числа. Тогда полезность вектора конечного выпуска можно оценить показателем Можем сформулировать оптимизационную задачу: Найти такие значения конечных и валовых выпусков отраслей, чтобы они удовлетворяли основным балансовым соотношениям и максимизировали полезность вектора конечного выпуска. Такая задача решения НЕ имеет! Необходимы дополнительные ограничения (в реальности они всегда существуют). 19

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Самые простые дополнительные ограничения могут выглядеть следующим образом: удельные трудовые затраты в i-ой отрасли. максимально возможные затраты труда в i-ой отрасли. совокупный объем имеющихся производственных мощностей в i-ой отрасли (под мощностью понимается максимально возможный выпуск). Данные ограничения переводят исходную открытую модель МОБ в закрытую. 20

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ 21

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Если изменить вид ограничений и допустить возможность перехода людей из одной отрасли в другую, то ограничение по трудовым ресурсам будет иметь вид Оптимизационная задача: (1) (2) − балансовое соотношение (3) − ограничение на трудовые ресурсы (4) − перераспределение трудовых ресурсов (5) − ограничение по мощности 22

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ 23

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Недостаток введенного функционала J − возможная непропорциональность оптимальных конечных выпусков. − максимизация потребления в заданном ассортименте − максимизация превышения фонда потребления в заданной структуре 24

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ Дискретная динамическая модель межотраслевого баланса Межотраслевой баланс будем строить отдельно для каждого периода времени t. Пусть конечный продукт каждой отрасли делится на две части: 1. накопление, 2. общественное и личное потребление. ОБОЗНАЧЕНИЯ: общественное и личное потребление продукции отрасли i в период t. прирост мощности отрасли i в период t. показатель удельных фондообразующих затрат, показывает, сколько единиц продукции отрасли i расходуется для обеспечения единичного прироста основных фондов отрасли j. норма амортизации в отрасли i. 25

Математическое моделирование экономических систем Фаддеенков Андрей Владимирович, к. т. н. , НГТУ ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ: Можно рассматривать задачу о максимизации потребления (или некоторой функции от потребления) в конечном периоде: это задача ЛП с 2 NT переменными и 3 NT ограничениями. 26