МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 8 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА МИКРОУРОВНЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА • Одномерные нестационарные модели механических и тепловых систем. Постановка задач, начальных и граничных условий. • Математическая модель поперечных колебаний гибких упругих нитей (струн). • Математическая модель продольных, крутильных и изгибных колебаний тонких упругих стержней. • Разностная схема «крест» для одномерного волнового уравнения. • Схема Кранка-Николсона для одномерных задач теплопроводности и диффузии. • Примеры (упругие волны, колебание стержней, струн, пластин, мембран, нестационарное поле температур в диске при электронно-лучевой наплавке, резание, вдавливание штампа, задача Лэмба).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОМЕРНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ И ТЕПЛОВЫХ СИСТЕМ • • Нестационарные математические модели механических систем описывают колебательные и волновые процессы различной физической природы. Это - поперечные колебания струн, продольные, изгибные и крутильные колебания стержней, колебания мембран, пластин и оболочек, акустические колебания газов, жидкостей и твердых тел, электромагнитные колебания, колебания электрического тока в проводах, поверхностные волны в жидкостях и т. д. Одномерные механические объекты при математическом описании рассматриваются как однородные упругие стержни, балки, упругие гибкие нити и различные системы, составленные из этих элементов. Стержень (балка) представляет собой одномерную механическую систему с непрерывно распределенной массой. Такая система с распределенными параметрами имеет бесконечное число степеней свободы и, соответственно, обладает бесконечно большим числом собственных частот и собственных форм колебаний. Гибкие упругие нити (струны). Гибкой нитью (или струной) называется стержень с нулевой жесткостью на изгиб. Среди технических объектов к гибким нитям относят тросы, шарнирные цепи, канаты, струны, вантовые элементы и т. п. При построении математических моделей учитываются два основных свойства гибких нитей: нить работает только на растяжение (отсутствие изгибной жесткости приводит к потере устойчивости при появлении сжимающих усилий); усилие (напряжение), растягивающее нить, всегда направлено по касательной к нити (вытекает из условия равенства нулю изгибающего момента в любом сечении нити). Тепловые (термомеханические) объекты – это детали и механизмы, находящиеся в условиях переменных или постоянных внешних тепловых воздействий. Основным параметром, подлежащим определению, является поле температур, а при рассмотрении термомеханических объектов и тепловые напряжения.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИБКИЕ НИТИ: ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ • Математическая модель, описывающая поперечные колебания гибких нитей, содержит волновое уравнение, начальные и граничные условия. где • • - поперечное смещение точки с координатой в момент времени - сила натяжения нити; - линейная плотность нити. Основные типы граничных условий. 1. Задан режим движения граничной точки нити (граничные условия 1 -го рода): ; • В частности, если , имеем жесткое закрепление. 2. Заданы силы в граничной точке (граничные условия 2 -го рода): • 3. Упругое закрепление в граничной точке (граничные условия 3 -го рода): • На практике могут встречаться и произвольные комбинации отмеченных трех типов граничных условий, а также нелинейные граничные условия.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТЕРЖНИ: ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ, ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ • • • Если удалить по торцу длинного стержня, вдоль стержня побежит возмущение – продольная упругая волна. Математическая модель, описывающая продольные колебания стержня, включает дифференциальное (волновое) уравнение, начальные и граничные условия. Волновое уравнение имеет вид где ось направлена вдоль стержня; - продольное смещение сечения стержня; - модуль Юнга; - плотность материала стержня. Основные типы граничных условий и их математическая запись. 1. Абсолютно «жесткая» граница, смещение частиц которой запрещено: Практически этот случай реализуется, если торец стержня прикреплен (приклеен) к массивной стенке из материала с очень большим модулем Юнга. 2. Абсолютно «мягкая» граница, на которой отсутствуют силы (напряжения) или • Граница, на которой отсутствуют напряжения, называется свободной границей. Практически этот случай реализуется на границе стержня с воздухом (вакуумом). 3. Граница неразъемного контакта двух различных стержней одинакового сечения. На границе контакта (слева и справа от границы) совпадают силы (напряжения) и смещения:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТЕРЖНИ: ВОЛНЫ КРУЧЕНИЯ, КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ • • Если к одному концу стержня кругового сечения внезапно приложен крутящий момент, вдоль стержня побежит волна кручения. Деформация в каждом сечении характеризуется углом закручивания , равным углу поворота данного сечения вокруг продольной оси. Напряженное состояние характеризуется моментом кручения. Математически процесс распространения волн кручения описывается волновым уравнением где • • - скорость распространения волн кручения (скорость поперечных волн); - упругий модуль сдвига; - плотность материала стержня. Основные типы граничных условий. 1. Жестко закрепленный конец стержня. Угол закручивания равен нулю: 2. Свободный конец. Крутящий момент или относительный угол закручивания равен нулю: Здесь - жесткость сечения при кручении, - полярный момент инерции сечения. 3. Жесткий контакт двух стержней одинакового радиуса, но из разных материалов. На границе контакта равны углы закручивания и крутящие моменты:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНЫ ИЗГИБА (ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ) В СТЕРЖНЯХ ( БАЛКАХ) (1) • • Третьим типом волн (наряду с продольными и крутильными волнами), которые могут распространяться в стержнях, являются изгибные волны. Они возникают при ударе по стержню в поперечном направлении, сопровождающимся местным изгибом, который и будет распространяться от места удара в виде волны. Основное отличие поперечных (изгибных) колебаний стержня от поперечных колебаний струны заключается в том, что стержень оказывает сопротивление изгибу. Учет сопротивления изгибу приводит (вместо волнового уравнения) к уравнению четвертого порядка. Математическая модель, описывающее распространение волн изгиба, - это уравнение в частных производных четвертого порядка; оно имеет вид: где - поперечное смещение (прогиб) стержня относительно положения равновесия (прогиб предполагается достаточно малым, чтобы можно было считать длину нейтральной линии неизменной и, следовательно, пренебрегать растяжением стержня); - площадь поперечного сечения стержня; - изгибная жесткость сечения стержня; - масса единицы длины стержня (линейная плотность). Граничные условия определяются способом закрепления концов стержня. Обычно рассматриваются три способа закрепления: жестко закрепленный конец, свободно опирающийся конец и свободный, незакрепленный конец.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНЫ ИЗГИБА (ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ) В СТЕРЖНЯХ ( БАЛКАХ) (2) • • Основные типы граничных условий при моделировании изгибных колебаний. 1. Жесткая заделка. Равны нулю смещение и его производная (т. е. угол наклона поперечного сечения стержня): • 2. Свободно опертый конец. Равны нулю смещение и изгибающий момент (пропорционален второй производной) • 3. Свободный конец. Изгибающий момент • Скорость распространения изгибных волн в стержне и перерезывающая сила равны нулю: зависит от частоты волны , т. е. имеет место дисперсия. В силу этого, волновое возмущение конечной длительности при распространении будет изменять свою форму.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОВЫХ СИСТЕМ (1) • Математической моделью теплотехнических объектов на микроуровне является уравнение теплопроводности, описывающее изменение температуры во времени и в пространстве, дополненное начальными и граничными условиями. Это уравнение позволяет вычислить температурное поле в различных объектах: стенках теплообменников, в корпусных деталях машин, в дисках и барабанах фрикционных муфт и т. д. Зная температурное поле, можно вычислить термические напряжения. На основании этих результатов можно судить о работоспособности теплотехнического объекта. Ограничение работоспособности наступает при достижении предельных значений напряжений и/или температуры. Математическая модель одномерного теплотехнического объекта описывается уравнением теплопроводности • • Основные типы граничных условий при моделировании теплотехнических объектов. 1. Граничные условия первого рода. Задана температура на левой и правой границе объекта, как функция времени: • 2. Граничные условия второго рода. Задана плотность теплового потока на границах: В частности, для теплоизолированных границ тепловой поток равен нулю:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОВЫХ СИСТЕМ (2) • • 3. Граничные условия третьего рода. Задана температура окружающей среды и (в зависимости от конкретной ситуации) условия теплообмена с внешней средой. Для технических объектов характерны два способа теплообмена: конвективный теплообмен (при обтекании объекта жидкостью или газом), теплообмен излучением. - при конвективном теплообмене • - при теплообмене излучением • Здесь - коэффициент теплопроводности материала теплотехнического объекта; коэффициент теплоотдачи (теплообмена); - степень черноты поверхности (характеризует излучательную или поглощательную способность); - постоянная Стефана-Больцмана; - температура окружающей среды; - температура внешнего источника, с которым происходит теплообмен излучением. 4. Граничные условия четвертого рода описывают условия теплообмена на границе контакта различных тел – равенство температур и плотностей тепловых потоков:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА «КРЕСТ» ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ • Рассмотрим начально-краевую задачу для одномерного волнового уравнения с граничными условиями 1 -го рода • Явная трехслойная разностная схема «крест» : • Погрешность аппроксимации условия Куранта ; схема условно устойчива при выполнении

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕР. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ И СТРУНЫ. Начальные условия совпадают. Стержень – красный цвет, струна – синий цвет линий.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА КРАНКА-НИКОЛСОНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ • Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с граничными условиями 1 -го рода • Неявная шеститочечная схема Кранка-Николсона (Crank-Nicolson) • • Погрешность аппроксимации Вводя обозначение . Схема абсолютно устойчива. , разностные уравнения можно записать в виде: где в правую часть равенства перенесены известные величины. При переходе с -го временного слоя на - й необходимо решать линейную систему уравнений с трехдиагональной матрицей. Как правило при этом применяется метод прогонки.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР (ИЗОТЕРМЫ) В СТАЛЬНОМ ДИСКЕ. Поле температур (приращение относительно постоянной начальной температуры диска ) в последовательные моменты времени в тонком стальном диске при двух режимах термической обработки, отличающихся скоростью движения источника (электронного сканирующего луча). Линейная скорость движения источника: слева – 1. 1 см/с, справа – 0. 66 см/с. В первом варианте источник совершает полный оборот за 60 с, во втором – за 100 с. Изотермы проведены через 100 градусов. Диапазон изменения температуры: слева – от 0 до 800 К, справа – от 0 до 1200 К.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР В ТОНКОМ ДИСКЕ ПРИ ДВИЖЕНИИ ЭЛЕКТРОННОГО ЛУЧА ПО СПИРАЛИ ОТ ВНЕШНЕЙ КРОМКИ ДИСКА.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР В ТОНКОМ ДИСКЕ ПРИ ДВИЖЕНИИ ЭЛЕКТРОННОГО ЛУЧА ПО СПИРАЛИ ОТ ВНЕШНЕЙ КРОМКИ ДИСКА.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗАНИЕ ПЛАСТИЧНЫХ МАТЕРИАЛОВ. ИНТЕНСИВНОСТЬ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧА О ВДАВЛИВАНИИ ЖЕСТКОГО ШТАМПА (ЗАДАЧА ПРАНДТЛЯ) Модель Прандтля - Рейсса Модель линейно упругой среды Модель Друкера – Прагера (ассоциированный закон пластического течения) Модель Николаевского (неассоциированный закон пластического течения)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНЫ В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ (ЗАДАЧА ЛЭМБА)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ? ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. • Литература: [6], [14], [11], [12], [13], [2].