МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2 КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ • • • Методы научного познания. Место моделирования среди методов познания. Модели в науке и технике. Классификация математических моделей в зависимости: - от сложности объекта моделирования; - от оператора модели; - от параметров модели; - от методов реализации; - от целей моделирования. Классификация математических моделей технических объектов. Типовая схема проектирования технического объекта в САПР. Методология математического моделирования (вычислительный эксперимент)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ. МЕСТО МОДЕЛИРОВАНИЯ СРЕДИ МЕТОДОВ ПОЗНАНИЯ. • Метафизический Общенаучные Всеобщие МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ Диалектический Частнонаучные Общие Эмпирические Теоретические Анализ Наблюдение Абстрагирование Синтез Эксперимент Идеализация Аналогия Измерение Формализация Моделирование Индукция Дедукция • Изучением методов познания окружающего мира занимается методология. Основная задача методологии изучение происхождения, сущности, эффективности и других характеристик методов познания. Метод – совокупность приемов и операций практического и теоретического освоения действительности. Владеть методом – значит знать, каким образом, в какой последовательности нужно совершать те или иные действия для решения различных задач, и уметь реализовать эти знания на практике. • Моделирование – метод познания окружающего мира, относящийся к общенаучным методам; он применяется как на эмпирическом, так и на теоретическом уровне познания.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ. Физическое Аналоговое • Материальное моделирование ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ • Идеальное моделирование Интуитивное Научное • Знаковое моделирование • При физическом моделировании реальному объекту ставится в соответствие его (увеличенный или уменьшенный) материальный аналог, допускающий исследование в лабораторных условиях; свойства изучаемых процессов и явлений переносятся затем с модели на объект на основе теории подобия. Аналоговое моделирование - это моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами). Интуитивное моделирование основано на интуитивном (не обоснованном с позиций формальной логики) представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации или не нуждающемся в ней. Научное моделирование - это всегда логически обоснованное моделирование, использующее минимальное число предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объектом моделирования. • Математическое моделирование - это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ И ВЗАИМОСВЯЗЬ МОДЕЛЕЙ (УРОВНИ МОДЕЛИРОВАНИЯ) При наблюдении за объектом-оригиналом в голове исследователя формируется некий мысленный образ объекта, его идеальная модель, которую в научной литературе принято называть когнитивной (мысленной) моделью. ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ Когнитивная модель Представление когнитивной модели на естественном языке называется содержательной моделью. Содержательная модель Когнитивная модель Описательная Объяснительная Предсказательная Концептуальная модель Материальное моделирование Причинно. Логико. Структурносемантическая функциональная следственная Формальная модель Математическая Информационная Концептуальной моделью принято называть содержательную модель, при формулировке которой используются понятия и представления предметных областей знаний, занимающихся изучением объекта моделирования. В более широком смысле под концептуальной моделью понимают содержательную модель, базирующуюся на определенной концепции или точке зрения. Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков (например, языков математических теорий или алгоритмических языков). Математическая модель – совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МОДЕЛИ В НАУКЕ И ТЕХНИКЕ • В научной и технической литературе понятие модель чаще всего употребляется в следующем смысле: модель - аналог (чертеж, график, план, схема, описание) реального объекта; модель - образец (уменьшенный, увеличенный, в натуральную величину) будущего изделия. • Под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя основные важные для данного исследования черты оригинала. Процесс построения, исследования и использования модели называется моделированием. • • • Свойства математических моделей: адекватность; полнота, замкнутость, внутренняя непротиворечивость; простота и наглядность; потенциальность (возможности модели с точки зрения получения новых знаний об объекте исследования); устойчивость (или робастность, грубость); точность; экономичность; универсальность. Если результаты моделирования удовлетворяют исследователя и могут служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта, то говорят, что модель адекватна объекту. Другими словами, под адекватностью математической модели понимают правильное качественное и достаточное количественное описание тех характеристик объекта моделирования, которые важны в данном конкретном исследовании. Адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ • • • Одна и та же математическая модель находит подчас самые различные приложения. Например, с помощью модели, содержащей уравнение Пуассона можно изучать - установившееся течение (несжимаемой) жидкости; - стационарные тепловые поля; - распределение электрического потенциала; - механические напряжения при кручении стержней; - деформацию тонкой мембраны; - фильтрацию нефти в нефтеносном пласте или влаги в почве; - диффузию посторонней примеси в твердом теле, жидкости или газе; - распространение эпидемии в регионе. В каждой из перечисленных задач функции и приобретают свой содержательный смысл, однако их связь описывается общим для всех задач уравнением Пуассона. Если правая часть обращается в нуль , рассматриваемое уравнение называется уравнением Лапласа:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЧЕМ НУЖНА МОДЕЛЬ? ЦЕЛИ МОДЕЛИРОВАНИЯ • Модель нужна для того, чтобы: понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающей средой; • научиться управлять объектом или процессом, находить оптимальные способы управления при заданных целях и критериях; • прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект. • Хорошо построенная модель, как правило, доступнее, информативнее и удобнее для исследователя, нежели реальный объект. Практическое использование математической модели (экспериментирование с моделью), аналогично проведению экспериментов с реальным объектом, но вместо физического (лабораторного, натурного) эксперимента с реальным объектом проводится вычислительный эксперимент с его моделью. Прямой натурный эксперимент часто дорог, трудоемок, опасен или попросту невозможен. Работа не с самим объектом, а с его моделью позволяет относительно быстро и без существенных затрат исследовать свойства и поведение объекта в любых мыслимых ситуациях. Эксперименты на моделях с применением ЭВМ позволяют разработать план натурных экспериментов, выяснить требуемые характеристики измерительной аппаратуры, наметить сроки проведения наблюдений, оценить стоимость эксперимента. • •

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ • • Математическая модель - это любой оператор , позволяющий по значениям входных параметров из области допустимых значений установить выходные значения параметров объекта моделирования: Здесь и - множества допустимых значений входных и выходных параметров для моделируемого объекта. В зависимости от природы , моделируемого объекта элементами множеств и могут являться любые математические объекты (числа, векторы, тензоры, функции, множества и т. п. ). Оператор - это: – некоторая функция, связывающая входные и выходные значения, – отображение (оператор), представляющее символическую запись системы алгебраических, дифференциальных, интегро-дифференциальных или интегральных уравнений, – некоторый алгоритм (совокупность правил, таблиц), обеспечивающих определение выходных параметров по заданным исходным значениям.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (в зависимости от сложности объекта моделирования ) ОБЪЕКТ МОДЕЛИРОВАНИЯ Простой объект Имитационная модель Система Структурная модель Функциональная модель Структурно-функциональная модель · Объект моделирования - это некоторое материальное тело (конструкция, техническое устройство, агрегат, узел, деталь и т. п. ), - физическое явление, - природный, технологический или социальный процесс. · Все объекты моделирования можно разделить на две группы: простые и объектысистемы. Объект является простым, если при моделировании не рассматривается его внутреннее строение, не выделяются составляющие его элементы или подпроцессы (например, материальная точка в классической механике – простой объект). · Система есть совокупность взаимосвязанных элементов, в определенном смысле обособленная от окружающей среды и взаимодействующая с ней как целое.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (в зависимости от оператора модели) Линейный Нелинейный ОПЕРАТОР МОДЕЛИ Алгоритмический Сложный Простой Функция ОДУ РУ СЛАУ СОДУ ДУЧП ИДУ ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение, РУ – разностное уравнение, СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений, СОДУ – система обыкновенных дифференциальных уравнений, ДУЧП - дифференциальные уравнения в частных производных, ИДУ – интегро-дифференциальные уравнения.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (в зависимости от параметров модели) Стохастические Случайные Интервальные Детерминированные Нечеткие Неопределенные ПАРАМЕТРЫ И ПЕРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ По отношению ко времени По отношению к размерности пространства Динамические Статические Стационарные Одномерные Нестационарные Двухмерные Трехмерные По составу параметров Дискретные Качественные Непрерывные Количественные Смешанные

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (в зависимости от методов реализации модели) МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛИ Аналитические Алгоритмические Алгебраические Численные Приближенные Имитационные Метод исследования модели относят к аналитическим, если он позволяет получить выходные величины в виде аналитических выражений. При алгоритмическом подходе задается некоторый алгоритм, преобразующий (за конечное число шагов) входные данные в искомое решение. При численном подходе (МКР, МКЭ) производится дискретизация исходных математических соотношений, то есть переход от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи. При имитационном подходе на отдельные элементы разбивается сам объект исследования. В этом случае система математических соотношений для объекта-системы в целом не записывается, а заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим ее поведение и учитывающим взаимодействие друг с другом отдельных элементов системы. В качестве моделей отдельных элементов могут быть использованы как аналитические, так и численные модели.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (в зависимости от целей моделирования) ЦЕЛИ МОДЕЛИРОВАНИЯ Дескриптивные Оптимизационные Управленческие Целью дескриптивных моделей (от лат. descriptio - описание) является построение законов изменения параметров модели. Эти модели описывают зависимость выходных величин от значений входных параметров. Поэтому дескриптивные модели являются реализацией описательных и объяснительных содержательных моделей на формальном уровне моделирования. Оптимизационные модели предназначены для определения оптимальных (с точки зрения некоторого критерия) параметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального (наилучшего) режима управления некоторым процессом. Управленческие модели применяются для принятия эффективных управленческих решений в различных областях целенаправленной деятельности человека.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВИДЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ (ММ) ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ (ТО) По форме представления ММ По характеру отображаемых свойств ТО По степени абстрагирования По способу получения ММ По учету физических свойств ТО Инвариантные Функциональные Теоретические Динамические Алгоритмические Структурные ММ микроуровня (ММ с распределенными параметрами) Экспериментальные факторные Статические Аналитические Графические (схемные) Структурнофункциональные По способности прогнозирования результатов Детерминированные Вероятностные ММ макроуровня (ММ с сосредоточенными параметрами) Непрерывные ММ метауровня Линейные Дискретные Нелинейные

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВАЯ СХЕМА ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА В САПР Формирование ТЗ на объект проектирования уровня Проектирование системы на уровне Генерирование варианта структуры Уровень Корректировка ТЗ С Формирование математической модели Изменение структуры И Выбор исходных значений параметров Н ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ АНАЛИЗ Параметры оптимальны ? Технические требования выполнены? Оформление технической документации Формирование ТЗ на подсистемы объекта Уровень Нет Т Изменение управляемых параметров Структурный синтез закончен? Е Нет З Да (СТРУКТУРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ) Уровень

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭТАПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ (ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ) Анализ объекта моделирования, формулировка технического задания (ТЗ) на разработку модели (содержательная постановка задачи, расчетная схема) Концептуальная и математическая постановка задачи Качественный анализ и проверка корректности модели Выбор (разработка) и обоснование выбора метода решения задачи Аналитические методы Поиск решения Прочие методы Разработка алгоритма решения и исследование его свойств, реализация алгоритма в виде компьютерной программы Проверка адекватности модели Практическое использование построенной модели

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕР: ЗАДАЧА О БАСКЕТБОЛИСТЕ (содержательная постановка задачи) • Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную корзину. • • Модель должна позволять: вычислять положение мяча в любой момент времени; определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах. • • • Исходные данные: масса и радиус мяча; начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча; координаты центра и радиус корзины.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕР: ЗАДАЧА О БАСКЕТБОЛИСТЕ (концептуальная постановка задачи) • • Примем следующие предположения и гипотезы: объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R; движение баскетбольного мяча может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона; мяч будем считать материальной точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс мяча; движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорением свободного падения g ; движение мяча происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли и проходящей через точку броска и центр корзины; пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванными собственным вращением мяча вокруг центра масс; параметры движения мяча: координаты (x и y) и скорость (ее проекции vx и vy). Концептуальная постановка задачи: определить закон движения материальной точки массой m под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки xo и yo, ее начальная скорость vo и угол бросания αo. Центр корзины имеет координаты xk и yk. Вычислить точность броска Δ=x(tk)-xk, где tk определяется из условий : tk>0, vy<0, y(tk)=yk

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИМЕР: ЗАДАЧА О БАСКЕТБОЛИСТЕ (математическая постановка задачи) • Найти зависимости x(t), y(t) и vx(t) и vy(t) из решения системы дифференциальных уравнений: • при следующих начальных условиях: • Вычислить параметр Δ как где tk определить из условий • Аналитическое решение:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ? ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. • • • • 1. Какое место занимает моделирование среди других методов познания окружающего мира? 2. Какие типы моделирования вы знаете? Дайте им краткую характеристику. 3. Какое содержание вкладывается в понятия модель и моделирование в научно-технических дисциплинах? 4. Какие типы моделей используются в изучаемых вами дисциплинах? В чем состоят цели моделирования? 5. Что такое математическая модель и математическое моделирование? Дайте определения, сформулируйте достоинства математических моделей и их свойства. Какие примеры математических моделей вам известны? 6. Какие классификационные признаки можно выделить, приступая к классификации математических моделей? Дайте классификацию моделей в зависимости от типа объекта моделирования. 7. В чем заключается сложность моделирования систем? Приведите пример технической системы и обоснуйте свой ответ на этом примере. 8. Какие типы математических моделей можно выделить по виду оператора модели? 9. Какие типы математических моделей можно выделить по виду параметров модели? 10. Приведите классификацию математических моделей в зависимости от методов реализации моделей. В чем достоинства и недостатки этих методов? 11. Перечислите этапы построения математической модели, дав при этом краткое описание каждого этапа. 12. Что вкладывается в понятие адекватности модели? Какие цели преследует проверка адекватности модели? Укажите причины возможной неадекватности. Как соотносятся понятия «истинности» и «адекватности» модели? Литература: [2], [1], [8], [3].