МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ Сложение

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ

ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ

Сложение и вычитания векторов Пусть имеются вектора и Сложение В С α А По теореме косинусов С 2=А 2+В 2+2 АВ cosα Вычитание В С α А По теореме косинусов С 2=А 2+В 2 -2 АВ cosα

Если вектора и заданы через компоненты по осям координат X, Y, Z: A (Ax, Ay, Az) и B (Bx, By, Bz), то для определения суммы векторов необходимо сложить соответствующие компоненты: (Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz) Абсолютная величина результирующего вектора:

Разность векторов находится по аналогии: (Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz) абсолютная величина вектора :

Перемножение векторов Пусть имеются вектора и Скалярное произведение векторов. обозначается как В α А или через компоненты векторов по осям X, Y, Z: Скалярное произведение не является вектором

Векторное произведение векторов: обозначается как С В α А это вектор Вектор С по абсолютной величине равен площади параллелограмма, построенного на векторах А и В, и направлен перпендикулярно этим векторам.

Компоненты вектора С: С В α X А Z Y (Аy. Bz-Az. By , Az. Bx-Ax. Bz , Ax. By-Ay. Bx) Абсолютная величина вектора С:

Основы математического анализа Можно без преувеличения сказать, что основу математического анализа (М. А. ), интегрирование и дифференцирование, родили насущные проблемы физики. Основу М. А. составляет представление о том, что любая сложная зависимость может быть представлена как совокупность бесконечного множества бесконечно малых величин, для которых применимы простейшие арифметические действия.

Дифференцирование Из математики: Пусть имеется некоторая функция f(x). Производная f(x) обозначается как Она показывает скорость изменения функции. Скорость изменения - это отношение приращения функции к приращению аргумента: Производная

Конкретный вопрос из физики : как найти скорость из зависимости координаты от времени? Пример № 1. Равномерное и прямолинейное движение X График зависимости пути от времени при равномерном движении имеет вид: Δx t Δt Δх- изменение положения тела за время Δt В данном случае величина скорости не зависит от выбора момента времени t и величины интервала времени Δt

Пример № 2. Равнопеременное движение График зависимости пути от времени при имеет вид: X t X Δx 2 Теперь величина скорости уже будет зависеть от выбора значения времени t и величины Δx интервала времени Δt 1 Δt 2 Δt 1= Δt 2 Вопрос: как тогда найти скорость из зависимости координаты от времени? t

В данном случае мы можем найти только среднюю скорость для моментов времени t 1 и t 2: и чем меньше будет интервал времени Δt, тем точнее мы определим величину скорости в моменты времени t 1 и t 2, и тем больше у нас оснований считать, что отрезок кривой x(t) в интервале времени Δt является прямолинейным.

Таким образом при Δt→ 0 уже можно воспользоваться соотношением, полученным для равномерного движения X dх Δх t Δt dt Такой подход и лежит в основе дифференциального исчисления

Применим этот подход к равнопеременному движению. Если начальная скорость тела равна нулю, то координата тела изменяется по закону: пренебрежимо мало P. S. Поскольку Δt мало, то величиной Δt 2 можно пренебречь

Правила дифференцирования 1. С’=0 – производная от const Таблица производных f(x) xn nxn-1 ex ex ax ax lna sin x cos x -sin x tg x ctg x ln x равна нулю 2. (C·U)’=C ·U’- const можно выносить за знак дифференцирования 3. Правило дифференцирования суммы/ разности (V±U)’= V’ ± U’ 4. Правило дифференцирования произведения (V·U)’= V’ ·U +V· U’

Интегрирование

Из математики: где j(x) – называется первообразной, производная от которой равна подынтегральной функции: j’(x) = f(x) т. е. интегрирование является процессом, обратным дифференцированию.

Вернемся к вопросу о связи между координатой и скоростью Поскольку интегрирование является процессом, обратным дифференцированию, то теперь вопрос формулируется «в обратном направлении» : как на основании зависимости скорости от времени определить координаты тела?

Из «школьной» физики: График зависимости скорости от времени при равномерном движении имеет вид: V t В данном случае пройденный путь S за интервал времени t 2 –t 1 определяется соотношением: S=V·(t 2 –t 1) Его геометрическая интерпретацияплощадь под зависимостью V(t) V S t 1 t t 2

Из «школьной» физики: График зависимости скорости от времени при равноперемерном движении имеет вид: V t В данном случае пройденный путь S за интервал времени t 2 –t 1 определяется площадью трапеции. V 2 V 1=V 0+a·t 1 V V 1 S V 0 t t 1 t 2 V 2=V 0+a·t 2

V Для определения пути, пройденного телом при более сложной зависимости скорости от времени воспользуемся идеей геометрической интерпретации t графика V(t) Разобьем ось времени на отрезки V Δt, найдем величину скорости для каждого интервала времени, определим среднее значение скорости внутри каждого интервала t и будем считать, что внутри этих Δt интервалов пройденный путь ΔS определяется как Vср· Δt

V Тогда путь, пройденный телом можно приблизительно определить как t Δt При уменьшении величины интервала времени возрастает точность определения пройденного пути S СУММИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДИТ В ИНТЕГРИРОВАНИЕ: V t

Интеграл носит название определенного, поскольку мы суммируем элементарные участки пути от времени t 1 до t 2. В общем виде: Определенный интеграл равен разности первообразной конечного и начального состояния

Метод неопределенного интеграла Если к первообразной добавить const, то производная от этого выражения все равно будет равна подынтегральному выражению: и Поэтому если по известной величине f(x) необходимо найти первообразную j(x), то это можно сделать с точностью до const. Величина const определяется из начальных или граничных условий.

Таблица интегралов ∫f(x)dx j(x) ∫ xndx n≠ -1 ln x+C ∫cos x dx ∫sin x dx ∫ex dx sin x+C -cos x+C ex + C tg x+C -ctg x+C правила интегрирования 1. ∫ 0 dx=C- интеграл от нуля –это const 2. ∫adx = ax+C, ∫af(x)dx=a ∫f(x)dx – Const можно выносить за знак интеграла 3. ∫(f(x)+j(x))dx = ∫f(x)dx + ∫j (x)dx – Интеграл от суммы равен сумме интегралов 4. Переход к новой переменной интегрирования:

Примеры использования дифференцирования и интегрирования в физике Круг задач, решаемых в рамках средней школы без применения дифференцирования и интегрирования, весьма ограничен. Курс общей физики, читаемый в рамках высшей школы, затрагивает множество вопросов, ответы на которые можно получить только при использовании методов математического анализа, возникновение которого во многом и было вызвано насущными физическими проблемами.

Задача о спасении утопающей девушки В b А x a-x a Постановка задачи: В воде тонет девушка. Какое расcтояние необходимо пробежать юноше по берегу прежде чем броситься в воду, чтобы добраться до девушки за минимальное время. Скорость бега V 1, скорость плавания V 2. t 1 - время бега t 2 - время плавания tобщ=t 1+t 2 Минимальное время находится путем дифференцирования выражения для t общ по варьируемому параметру х:

В колебательном контуре напряжение на обкладках конденсатора изменяется по закону: U=U 0 sinω·t. Найти зависимость силы тока в контуре от времени: q= C·U=C·U 0 sinω·t При разряде конденсатора заряд на его обкладках изменяется по закону: q=q 0 e-kt Найти зависимость силы тока в цепи от времени:

Для получения необходимой информации довольно часто приходится прибегать к дифференцированию экспериментальных данных. Пример: Данные о химическом составе и электронной структуре различных материалов можно определить с помощью рассеяния электронов. Эти данные получают из анализа по энергии электронов, рассеянных мишенью, путем вариации потенциала U, подаваемого на задерживающую сетку. Коллектор Мишень Электронная пушка Задерживающая сетка

Однако, получаемый при этом полезный сигнал мал и для его выделения на общем фоне требуется двойное дифференцирование исходной зависимости Ik d. Ik/d. U на кривой Ik(U) только слабые намеки на существование максимумов U 3 После первого дифференцирования уже видны максимумы U 3 d 2 Ik/d. U 2 После повторного дифференцирования эти максимумы уже проявляются отчетливо и их можно обрабатывать для получения необходимой информации. U 3

В радиотехнике нашли широкое применение дифференцирование и интегрирование сигналов с помощью R-C цепочек Дифференцирующая RC цепочка Интегрирующая RC цепочка

Практический подход к определению скорости из экспериментальных данных Если в нашем распоряжении имеются данные о положении тела через равные промежутки времени Δt, то, вычитая из одного положения тела xi в момент времени ti его положение в предыдущий момент ti-1 , мы определим величину Δxi. Поделив величину Δxi на интервал времени Δt, мы получим среднее значение скорости в момент времени ti.

Числовой метод определения скорости из зависимости x(t) № t, c x(t), м x(t-Δt) Δx= x(t)-x(tΔt) V=Δx/Δt 1 0, 05 2 0, 20 0, 05 0, 15 1, 5 3 0, 45 0, 20 0, 25 2, 5 4 0, 80 0, 45 0, 35 3, 5 5 0, 5 1, 25 0, 80 0, 45 4, 5 6 0. 6 1, 80 1, 25 0, 55 5, 5 7 0, 7 2, 45 1, 80 0, 65 6, 5 8 0, 8 3, 20 2, 45 0, 75 7, 5 9 0, 9 4, 05 3, 20 0, 85 8, 5 Смещение Вычитание на одну строчку вниз Деление

Примеры использования определенных и неопределенных интегралов в физике 1. Скорость тела, как функция времени, изменяется по закону V =1+2 t. Определить путь, пройденный за время от t=1 c до t=3 c. Решение: 2. Скорость тела, как функция времени изменяется по закону V =1+2 t. Определить зависимость координаты х от времени, если при t=0 x(0)=4 Решение: Откуда С=4 x(0)=0+02+C=4 Окончательно x=t+t 2+4

Пример № 3 На тело действует только сила сопротивления пропорциональная скорости его движения Fсопр=-r·V. В начальный момент времени тело имело скорость, равную V 0 : V(0)=V 0. Найти зависимость скорости движения тела от времени. По II закону Ньютона это простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в этом выражении две переменных величины: скорость V и время t. Разнесем их по разные стороны.

возьмем интеграл от левой и правой части этого выражения в данном случае постоянную интегрирования удобнее представить в виде логарифма: ln. C Перейдем от ln к exp Величину С найдем из начальных условий: при t=0 Окончательно: V(0)=V 0

Пример № 4 При разряде конденсатора сила тока изменяется по закону: I=I 0 e-kt Найти величину заряда, находившегося на конденсаторе в начальный момент времени. В данном случае мы будем пользоваться методом определенного интеграла: ∞ 0

Пример № Обе фундаментальные силы – сила Кулоновского и гравитационного взаимодействия, изменяются с расстоянием как 1/r. Поэтому для вычисления работы этих сил нельзя пользоваться школьной формулой A=F·S. Определим работу силы Кулоновского взаимодействия по перемещению одного точечного заряда в поле другого. Для упрощения задачи будем считать, что второй заряд движется в поле первого в радиальном направлении, так что выражение для силы F и элементарного перемещения dr можно использовать в скалярной форме:

Более сложный пример Как найти скорость тела при свободном падении, если известно, что на него действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости движения тела Fсопр=-r·V? По II закону Ньютона F=m·a F= mg-r. V= ma С увеличением скорости сила сопротивления растет до тех пор, пока она не станет равной силе тяжести (иначе скорость тела должна уменьшаться). Тогда mg- r. V=0 и Однако, зависимость скорости движения тела от времени может быть найдена только с помощью аппарата высшей математики.

Поделим это выражение на m: В этом выражении нельзя разделить переменные V и t. - Как быть? Введем новую переменную величину: Тогда и Теперь уже можно разделить переменные z и t

Перейдем от ln к exp: Заменим z на V: Поделим левую и правую часть на r/m, сделав коэффициент при V равным единице, и введем новую const интегрирования С 1 Тогда Найдем С 1 из начальных условий: при t=0 V(0)=0 Тогда Подставим С 1 в выражение для скорости Окончательно