МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ПОЛЯ Теорема о проекции

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Теорема (о проекции ротора на нормаль) Пусть V - область в пространстве R 3 , в которой задано непрерывно дифференцируемое векторное поле M 0 – фиксированная точка области V, - произвольный постоянный единичный вектор, П – плоскость, перпендикулярная вектору и проходящая через т. M 0 S – часть плоскости П, ограниченная замкнутым кусочно-гладким контуром Г, ориентация которого согласована с ориентацией вектора по правилу правого винта, Тогда (13) где |S| -площадь области S; d (S) –диаметр области S (рис. 1. 1). Доказательство. По формуле Стокса: Перейдем к ПИН 1 и воспользуемся свойством скалярного произведения векторов: Имеем рис. 1. 1

Получим: (А 1) Используем теорему о среднем для определенного интеграла: Для двойного интеграла по плоской области S аналогично Отсюда (Б 1) Подставим (Б 1) в (А 1) и найдем проекцию ротора: (В 1) Будем стягивать контур Г к точке М 0, устремляя диаметр плоской области S к нулю, при этом произвольная точка М этой области устремится к точке М 0 Перейдём к пределу в выражении (В 1) при этих условиях. Получим: По условию теоремы, поле непрерывно дифференцируемо, значит, ротор –непрерывная функция. Предел непрерывной функции в точке равен её значению в этой точке, тогда (13) Доказано. Замечание. Из (13) следует, что проекция ротора (и следовательно, ротор) не зависит от выбора системы координат(инвариантен с точностью до знака) Физический смысл ротора – это мера «завихренности» векторного поля.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ I. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ Определение. Векторное поле потенциальным, если существует скалярное поле что называется такое, Замечание. Функцию называют скалярным потенциалом векторного поля. Из (1) следует, что (1. 1) Теорема (о 3 -х эквивалентных свойствах потенциального поля). Пусть в односвязной области задано непрерывно дифференцируемое векторное поле Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) Поле является потенциальным. 2) Работа поля по любой кусочно-гладкой дуге, соединяющей точки А и В в области V, не зависит от длины дуги и равна разности потенциалов на концах дуги, то есть 3) Поле является безвихревым, т. е. (без доказательства)

ВЫЧИСЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПОТЕНЦИАЛА Рассмотрим ВП имеющее скалярный потенциал По теореме о 3 -х эквивалентных свойствах имеем или где М (x, y, z) – произвольная точка области определения, М 0(x 0, y 0, z 0) – фиксированная точка области определения. Для вычисления интеграла (работы поля по дуге) выберем наиболее удобный путь: по ломаной, звенья которой параллельны осям координат. Отрезок [М 0 М 1] – вдоль оси OX; [М 1 М 2] – вдоль оси OY; [М 2 М] – вдоль оси OZ Тогда формула для скалярного потенциала примет вид (2. 1) где С – const, С=. u(М 0) Замечание. Если точка (0, 0, 0) находится в области определения, то для простоты вычислений выбирают М 0(0, 0, 0).