МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ПОЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ II

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ II. СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ Определение. Непрерывно дифференцируемое векторное поле в области называется соленоидальным, если поток этого поля через кусочно-гладкую поверхность любой ограниченной области лежащей внутри области V, равен нулю: Физический смысл. Пусть - векторное поле скорости текущей жидкости. Соленоидальность этого поля означает, что в любую ограниченную область, взятую внутри объема жидкости, в каждый момент времени втекает ровно столько жидкости, сколько и вытекает из неё. Теорема (необходимое и достаточное условие соленоидальности). Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое в области векторное поле было соленоидальным в этой области, необходимо и достаточно, чтобы в любой точке области дивергенция поля была равна нулю

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть - соленоидальное поле в области Рассмотрим произвольный шар , с поверхностью , ориентированной внешней нормалью; центром в т. М и радиусом r. При , согласно теореме о дивергенции поля в точке, имеем: (II. 1) По определению соленоидального поля, поток через поверхность шара равен нулю, т. е. Подставляя это значение в (II. 1), получим, что 2) Достаточность. Пусть радиуса r, так чтобы Остроградского: Необходимость доказана. . Рассмотрим шар с центром в т. М, Для этого шара запишем формулу Гаусса (II. 2) Так как область - произвольная, то согласно определению, равенство (II. 2) означает, что поле соленоидально. Достаточность доказана. Доказано.

Векторный потенциал Определение. Пусть -векторное поле в области Векторным потенциалом поля называется векторная функция удовлетворяющая условию Теорема (о векторном потенциале) Если векторное поле имеет векторный потенциал в области , то поле является соленоидальным в этой области. Доказательство. Проверим достаточное условие соленоидальности: покажем, что По условию (2) Найдём координаты ротора и его дивергенцию. Значит, поле соленоидально. Доказано. Замечание. Верно и обратное: всякое соленоид. поле имеет вект. потенциал.

III. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПОЛЕ Определение. Непрерывно дифференцируемое в области векторное поле называется гармоническим, если оно является одновременно потенциальным и соленоидальным в этой области. Условия гармоничности поля можно записать двояко. 1) в векторной форме (условие потенциальности) (условие соленоидальности) 2) в «потенциальной» форме Если - скалярный потенциал поля, то Отсюда Получим условие: (уравнение Лапласа) Замечание. Уравнение Лапласа описывает стационарные (т. е. не изменяющиеся с течением времени) физические поля.

Основная теорема векторного анализа Теорема Гельмгольца. Пусть - непрерывно дифференцируемое векторное поле в области. Тогда в каждой точке области V это поле может быть представлено как сумма некоторого потенциального поля и некоторого соленоидального поля , то есть (без доказательства) Замечание. В «потенциальной» форме эти уравнения можно записать в виде: где - скалярный потенциал поля - векторный потенциал поля

Дифференциальные операторы в векторном анализе Пусть Обозначим: непрерывно дифференцируемое векторное поле - непрерывно дифференцируемое скалярное поле (вектор «набла» ) (оператор Лапласа «дельта» ) Тогда