МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ТФКП

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТФКП)

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Определение. Упорядоченную пару действительных чисел (x, y) называют комплексным числом, при этом если , то 1) 2) Замечание. Особое число i=(0, 1) – мнимая единица 1. 2. 3. Формы КЧ Геометрическая (точка на координатной плоскости) Алгебраическая Тригонометрическая 4. Показательная Замечание. Справедлива формула Эйлера Формулы Муавра 1) 2)

ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ФКП) Рассмотрим две плоскости комплексных чисел и и некоторые области D и G в этих плоскостях. Определение. Если каждому числу поставлено в соответствие по некоторому правилу число рис. 1 то говорят, что задана функция комплексной переменной Функцию представляют в виде , где Замечание. Вещественная и мнимая части ФКП – это вещественные функции 2 -х вещественных переменных. Чтобы исследовать ФКП, её надо представить в виде (1). Примеры.

Предел, непрерывность, производная ФКП Определения. 1). Число называется пределом комплексной ЧП если при 2). Число называется пределом однозначной ФКП в точке , если Обозначение: Замечание. Стремление с любого направления по z. Все свойства пределов функций вещ. перем. сохраняются. 3). Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке равен её значению в этой точке: 4) Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непрерывной в этой области. 5) Пусть - однозначная ФКП, заданная в области D. Производной этой функции в точке z называется предел , причём любым способом. 6). ФКП, имеющая производную, называется аналитической. Замечание. Справедливы формулы производной от суммы, произведения, частного функций, правило дифференцирования сложной функции.

Условия аналитичности ФКП Теорема (необходимое и достаточное условие аналитичности) Для того, чтобы функция была аналитической в области D, необходимо и достаточно, чтобы частные производные 1 -го порядка функций были непрерывны и удовлетворяли условиям: (условия Коши – Римана, Даламбера – Эйлера) Доказательство. 1) Необходимость. По определению производной и свойству предела, он не зависит от способа стремления , поэтому найдем производную вдоль осей OX и OY. Имеем: а) (А) б) (Б) Сравнивая (А) и (Б), из равенства вещественной и мнимой части каждого выражения, получим условия Коши-Римана. Необходимость доказана.

2) Достаточность. Пусть имеют непрерывные частные производные на D. Тогда функции дифференцируемы, и приращения функций имеют вид: (используем условия Коши-Римана) - векторный потенциал поля откуда Значит, функция аналитическая. Доказано.