МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Теоремы

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Теоремы Коши об аналитических функциях Теорема 1 (для односвязной области) Пусть -аналитическая в области D функция, Г- произвольный простой замкнутый контур на D. Тогда Доказательство. Используем формулу Грина(А) и условия аналитичности Коши-Римана(Б). Имеем: Аналогично Подставляя (2) и (3) в (1), получим: Доказано

Теорема 2 (для многосвязной области). Пусть -аналитическая функция на положительно ориентированной многосвязной области D со сложной границей Г, состоящей из простых отдельных замкнутых контуров, один из которых охватывает все остальные. Тогда Доказательство. Рассмотрим для простоты двусвязную область с границей Сделаем разрез области по гладкому контуру края которого ориентируем противоположно, согласовав их ориентации с обходом внешнего и внутреннего контура. Получим односвязную область D с границей Рис1. а. По Теореме 1 для односвязной области Отсюда Доказано. Замечание. Для областей большей связности теорема доказывается аналогично, путем разрезания области по гладким контурам согласованной. ориентации (рис. 2). Рис. 1. б рис. 2

Следствие из Теоремы 2. Если область D ограничена внешним контуром Г и внутренними контурами , причём все контуры ориентированы против часовой стрелки, то для функции , аналитической на области D, включая её границу, имеет место равенство Замечание. Формула (4) позволяет внешний контур интегрирования заменить произвольным внутренним замкнутым контуром той же ориентации. Теорема 3 (интегральная формула Коши). Пусть функция аналитическая в односвязной области D, включая её кусочно-гладкую границу Г. Тогда где - любая точка внутри Г. (без доказательства) Теорема 4 (о производных аналитической функции) Пусть функция аналитическая в односвязной области D, включая её кусочно-гладкую границу Г. Тогда в любой точке функция имеет производные любого порядка, вычисляемые по формуле: (6) где - замкнутый контур внутри Г, ориентированный против часовой стрелки, содержащий внутри себя точку. (без доказательства)

Степенной ряд и ряд Тейлора ФКП Рассмотрим степенной ряд R –радиус сходимости. Сумма ряда является непрерывной функцией, поэтому имеет производные любого порядка. Дифференцируя обе части ряда, находим Значит, степенной ряд ФКП является рядом Тейлора. По формуле (6) из Теоремы 4 (о производной), получим: где L – произвольный замкнутый контур (7) внутри круга сходимости, содержащий т. Ряды Тейлора ФКП в окрестности

Ряд Лорана Это степенной ряд вида правильная часть главная часть Теорема (о разложении функции в ряд Лорана). Пусть Всякая аналитическая в кольце функция однозначно представима в этом кольце в виде сходящегося ряда , коэффициенты которого вычисляются по формуле: (без доказательства) Замечание. Правильная часть ряда Лорана сходится в круге главная часть сходится вне круга в области обе части ряда сходятся в кольце