МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Пусть

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Пусть круг Геометрический смысл производной ФКП - аналитическая в области D функция, такая что Выберем любую точку и рассмотрим открытый малого радиуса, с центром в этой точке; и приращение При отображении на комплексную плоскость вектор (рис. 1) при помощи функции переходит в вектор Запишем приращения в показательной форме: (1) Рис. 1 При получим Отсюда По определению производной и предела имеем: откуда (*) Аналогично (1), производная им. вид Подставляя (1) и (2) в (*), получим: - модуль производной есть коэффициент растяжения, - аргумент производной есть угол поворота бесконечно малых векторов, выходящих из данной точки ; в этом состоит геометрический смысл производной аналитической функции

Гармонические свойства аналитической функции Функция называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа или Теорема (о гармоничности вещественной и мнимой части аналитической функции) Пусть аналитическая функция в области D. Тогда функции являются гармоническими в D. Доказательство. Для аналитич. функции выполняются условия Коши-Римана: Продифференцируем (3. 1) по x, (3. 2) по y и сложим полученные равенства. Имеем Аналогично, продифференцируем (3. 1) по y, (3. 2) по x и вычтем из верхнего полученного равенства нижнее: Уравнения (4. 1) и (4. 2) означают, что функции являются гармоническими. Доказано.

Интегрирование ФКП Вычислим интеграл от ФКП по некоторому контуру (кривой) Г, т. е. Рассмотрим 3 случая. 1). аналитическая в области, содержащей Г; контур Г – отрезок прямой Тогда (1) где - первообразная функции 2). аналитическая в области, содержащей Г; контур Г- гладкая кривая задаваемая параметрическим уравнением Тогда (2) 3). Тогда (3). , . не является аналитической на контуре Г. (криволинейные интегралы 2 -го рода) Замечание. КРИН 2 вычисляют по обычным правилам для ф-ций 2 -х вещ. переменных.