МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Нули

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Нули и изолированные особые точки аналитической функции Определения. 1) Точка называется нулём k-го порядка аналитической функции , если 2) Точка называется особой точкой аналитической функции , если в этой точке нарушены условия аналитичности. 3) Точка называется изолированной особой точкой (ИОТ) функции если функция является аналитической в некотором круге с выколотой точкой. Классификация ИОТ Определения. 1) ИОТ функции называется устранимой, если 2) ИОТ функции называется полюсом, если 2. 1) Говорят, что функция имеет в точке полюс k-го порядка, если функция имеет в этой точке нуль k-го порядка. 3) ИОТ функции называется существенно особой точкой, если НЕ существует Замечание. В окрестности существенно особой точки ряд Лорана содержит бесконечное число членов в главной части; в окрестности полюса k-го порядка k членов в главн. части; в окрестности устранимой ИОТ главная часть ряда Лорана отсутствует.

ВЫЧЕТЫ Определение. Пусть Вычетом функции - ИОТ функции в точке называется интеграл вида: (1) где - простой гладкий замкнутый контур, ориентированный против часовой стрелки, внутри которого содержится точка Запишем коэффициенты ряда Лорана функции в окрестности точки здесь L – произвольный замкнутый контур внутри круга сходимости, содержащий т. Заметим, что при k=-1 коэффициент ряда равен вычету. (2) Замечание. Значение функции в устранимой ИОТ обычно доопределяют её конечным пределом в этой точке, получая таким образом аналитическую функцию, для которой Отсюда следует, что в устранимой ИОТ

Вычет в полюсе m-го порядка Запишем разложение функции в ряд Лорана в окрестности ИОТ - полюса m-го порядка. Согласно свойству такой ИОТ, главная часть ряда Лорана содержит m членов. Имеем: Умножив обе части равенства на , получим: Дифференцируя это равенство (m-1) раз по переменной z, и переходя к пределу при находим Поскольку , окончательно получим (3) Следствие. Вычет в простом полюсе (m=1) функции равен (3. 1)

Классификация особых точек на бесконечности Комплексную плоскость z дополняют ещё одной воображаемой (несобственной) точкой По определению полагают для , аргумент не существует. Определение. Точка называется ИОТ функции , если в некоторой окрестности этой точки, т. е. в области , где r - достаточно большое число, функция не имеет других особых точек. Тип бесконечно удаленной точки (устранимая, полюс, существенно особая) определяется количеством членов в главной части ряда Лорана, аналогично ИОТ Замечание. Удобно проводить исследование с помощью замены переменной Тогда ; далее по виду предела определяют тип ИОТ , такой же тип имеет ИОТ Вычет в бесконечно удаленной точке Определение. Вычетом функции в бесконечно удаленной ИОТ называется интеграл (4) где L- произвольный замкнутый контур в области , ориентированный по часовой стрелке.

Теоремы о вычетах Основная теорема о вычетах. Пусть функция -аналитическая всюду на комплексной плоскости, за исключением конечного числа ИОТ. Тогда сумма вычетов функции во всех её особых точках, включая бесконечно удаленную точку, равна нулю: Доказательство. (5) Построим непересекающиеся окружности ориентированные по часовой стрелке, с центрами и окружность с центром в нуле, достаточно большого радиуса, так чтобы она вместила все малые окружности (рис. 1). Сложный контур ограничивает область, внутри которой функция аналитическая. По Теореме 2 (Коши) для многосвязной области имеем Умножая обе части равенства на , получим, поменяв ориентации контуров: Рис. 1 или Доказано. Следствие.