Математический анализ
Таблица простейших неопределенных интегралов
Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования)
Правила Лопиталя
Теорема Ферма, - утверждение, что для любого натурального числа n > 2 уравнение xn + yn = zn (уравнение Ферма) не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z. Теорема была сформулирована Пьером Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта "Арифметика" следующим образом: "невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем". И далее добавил: "я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы". В бумагах Пьера Ферма нашли доказательство теоремы Ферма для n = 4. Нездоровый интерес к доказательству этой теоремы среди неспециалистов в области математики был в свое время вызван большой международной премией, аннулированной в конце первой мировой войны. Предполагается, что доказательство теоремы Ферма вообще не существовало. Для n = 3 теорему Ферма доказал Л. Эйлер, для n = 5 И. Дирихле и А. Лежандр, для n = 7 - Г. Ламе. Теорему Ферма достаточно доказать для любого простого показателя n = p > 2, т. е. достаточно доказать, что уравнение xp + yp = zp (1)
![Теорема Ролля Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a,](https://present5.com/presentation/21502542_400803423/image-10.jpg "Теорема Ролля Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a,")
Теорема Ролля Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a, b); на концах отрезка [a, b] принимает равные значения. Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что f'(c) = 0. Если функция y=f(x)-непрерывна на отрезке ab, дифференцируема во всех внутренних точках на ab, и f(a)=f(b), то существует хотябы одна точка c из интервала ab, такая, что f’(c)=0. Док-во: Т. к. функция непрерывна на отрезке ab, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (m) и наибольшего (M) значения. Возможны 2 случая: 1) m=M, тогда функция f(x)-постоянна на ab и производная равна 0 на всем отрезке. 2) m≠M, пусть f(x. M)=M, a f(xm)=m, т. к. f(a)=f(b), то f(x. M)>f(xm), тогда либо xm, либо x. M лежит внутри отрезка ab. Эту точку обозначим через с.
![Теорема Лагранжа Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a,](https://present5.com/presentation/21502542_400803423/image-11.jpg "Теорема Лагранжа Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a,")
Теорема Лагранжа Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует точка с Î (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a). Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений Док-во: Рассмотрим вспомогательную функцию Она обладает следующими свойствами: 1) F(x)-непрерывна в каждой точке отрезка ab. 2) F(x)-дифференцируема в каждой точке интервала ab. 3) F(a)=F(b)-f(a) Следовательно к F(x) можно применить теорему Роля, т. е. существует точка с из интервала ab такая, что F’(c)=0
![Теорема Коши Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b]; дифференцируемы в](https://present5.com/presentation/21502542_400803423/image-12.jpg "Теорема Коши Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b]; дифференцируемы в")
Теорема Коши Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b]; дифференцируемы в интервале (a, b); "x Î (a, b) g'(x) ≠ 0. Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что f(b) − f(a) g(b) − g(a) = f '(c) g '(c)
Задача приближения функций многочленами. Многочлен Тейлора для функции одной переменной Задача приближения (аппроксимации) функций заключается в том, чтобы для данной функции построить другую, отличную от нее функцию, значения которой достаточно близки к значениям данной функции. Такая задача возникает на практике достаточно часто. Укажем наиболее типичные случаи. 1. Функция задана таблицей в конечном множестве точек, а вычисления нужно произвести в других точках. 2. Функция задана аналитически, но ее вычисление по формуле затруднительно. При решении задачи поиска приближенной функции возникают следующие проблемы. 1. Необходимо выбрать вид приближенной функции. Для приближения широко используются многочлены, тригонометрические функции, показательные функции и т. д. 2. Необходимо выбрать критерий близости исходной и приближенной функции. Это может быть требование совпадения обеих функций в узловых точках (задача интерполяции), минимизация среднеквадратического уклонения (метод наименьших квадратов) и др. 3. Необходимо указать правило (алгоритм), позволяющее с заданной точностью найти приближение функции. Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки a и имеет в этой окрестности n+ 1 производную. Тогда в этой окрестности справедлива формула Тейлора: f(x) = c 0 + c 1(x – a) + c 2(x – a)2 + … + cn(x – a )n + Rn(x) = Tn(x) + Rn(x)
Скачать презентацию Математический анализ Таблица простейших неопределенных интегралов
1,2,3 Алексеева 5,18,19 Гулиева.pptx