Математический анализ Раздел Функция нескольких переменных Тема Экстремумы

Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Экстремумы ФНП. Условные экстремумы ФНП

Экстремумы ФНП Пусть z = f(x, y) определена в некоторой области D x. Oy , M 0(x 0, y 0) D. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Точка M 0(x 0, y 0) называется точкой максимума функции f(x, y), если M(x, y) U(M 0, ) выполняется неравенство f(x, y) f(x 0, y 0). Точка M 0(x 0, y 0) называется точкой минимума функции f(x, y), если M(x, y) U(M 0, ) выполняется неравенство f(x, y) f(x 0, y 0). Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами (экстремумами) этой функции.

Замечания. 1) По смыслу точкой максимума (минимума) функции f(x, y) могут быть только внутренние точки области D. 2) Если M(x, y) U*(M 0, ) выполняется неравенство f(x, y) < f(x 0, y 0) [ f(x, y) > f(x 0, y 0) ], то точку M 0 называют точкой строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума) функции f(x, y). Определенные в 1 точки максимума и минимума называют иногда точками нестрогого максимума и минимума. 3) Понятия экстремумов носят локальный характер. В рассматриваемой области функция может совсем не иметь экстремумов, может иметь несколько (в том числе бесчисленно много) минимумов и максимумов. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов.

ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия экстремума). Если функция z = f(x, y) в точке M 0(x 0, y 0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 2. Если M 0(x 0, y 0) – точка экстремума функции z = f(x, y), то касательная плоскость к графику этой функции в точке P 0(x 0, y 0, f(x 0, y 0)) либо параллельна плоскости x. Oy, либо вообще не существует. Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 2, называются критическими точками функции z = f(x, y).

ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия экстремума функции ДВУХ переменных). Пусть M 0(x 0, y 0) – критическая точка функции z = f(x, y) и в некоторой окрестности точки M 0 функция имеет непрерывные частные производные до 2 -го порядка включительно. Обозначим Тогда 1) если A C – B 2 < 0 , то точка M 0(x 0, y 0) не является точкой экстремума; 2) если A C – B 2 > 0 и A > 0 , то в точке M 0(x 0, y 0) функция имеет минимум; 3) если A C – B 2 > 0 и A < 0 , то в точке M 0(x 0, y 0) функция имеет максимум; 4) если A C – B 2 = 0 , то никакого заключения о критической точке M 0(x 0, y 0) сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.

Замечание. 1) Если с помощью теоремы 3 исследовать критическую точку M 0(x 0, y 0) не удалось, то ответ на вопрос о наличии в M 0 экстремума даст знак f(x 0, y 0) : а) если при всех достаточно малых x и y имеем f(x 0, y 0) < 0, то M 0(x 0, y 0) – точка строгого максимума; б) если при всех достаточно малых x и y имеем f(x 0, y 0) > 0, то M 0(x 0, y 0) – точка строгого минимума. В случае нестрогих экстремумов при некоторых значениях x и y приращение функции будет нулевым 2) Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на функции трех и более числа переменных. Достаточные условия экстремума для функции n (n > 2) переменных ввиду их сложности в данном курсе не рассматриваются. Определять характер критических точек для них мы будем по знаку приращения функции.

Условные экстремумы ФНП ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Условным экстремумом функции n переменных u = f(x 1, x 2 , …, xn) называется экстремум этой функции, найденный в предположении, что переменные x 1, x 2 , …, xn связаны m (m < n) условиями: 1(x 1, x 2 , …, xn) = 0 , …………. , (1) m(x 1, x 2 , …, xn) = 0. Условия (1) называются уравнениями связи. Обычный экстремум при этом называют безусловным экстремумом.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ условного экстремума функции ДВУХ переменных. Пусть поверхность S – график функции z = f(x, y); M 1 – точка безусловного экстремума (сравниваем P 1 и точки ее полной окрестности). Пусть ℓ x. Oy – кривая уравнения связи (x, y) = 0 , L – образ ℓ на поверхности S. M 0 – точка условного экстремума (сравниваем положение P 0 и точек кривой L).

ЗАДАЧА. Найти экстремум функции z = f(x, y), при условии, что x и y связаны условием (x, y) = 0. I способ. Метод подстановки. Из уравнения (x, y) = 0 выразить y = (x) и подставить в z = f(x, y). Тогда условный экстремум – обычный экстремум функции одной переменной z = f(x, (x)). II способ. Метод Лагранжа. Пусть уравнение (x, y) = 0 определяет функцию y = y(x) в неявном виде, f(x, y) – дифференцируемая. Необходимые условия условного экстремума функции 2 -х переменных:

Замечания. 1) Условия (5) – необходимые условия экстремума функции 3 -х переменных F (x, y, ) = f(x, y) + (x, y). F (x, y, ) называют функцией Лагранжа, – множителем Лагранжа. 2) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ метода Лагранжа. Рассмотрим линии уровня f(x, y) = C 1 , …, f(x, y) = Ck функции z = f(x, y) и кривую (x, y) = 0 (кривую ℓ). Точка Q не является точкой условного экстремума, т. к. в ее окрестности функция принимает значения как больше Ci , так и меньше Ci. Точка условного экстремума M 0 – точка в которой ℓ касается некоторой линии уровня f(x, y) = Cm.

В точке условного экстремума касательная к линии уровня f(x, y) = Cm и к ℓ – общая. Угловой коэффициент касательной к линии уровня f(x, y) = Cm в точке M 0: Угловой коэффициент касательной к линии ℓ в точке M 0 : Так как k 1 = k 2 , то

Полученные из системы (5) критические точки Mi необходимо проверить на наличие условного экстремума (рассмотреть в них приращение f(Mi) с учетом уравнения связи (x, y) = 0). Замечание. Пусть M 0(x 0, y 0) – критическая точка условного экстремума, M 0(x 0, y 0) 0. Рассмотрим f(M 0) = f(M) – f(M 0) = f(x 0+ x, y 0+ y) – f(x 0, y 0) , где (x 0, y 0) = 0 и (x 0 + x, y 0 + y) = 0 : f(M 0)=f(x 0+ x, y 0+ y) – f(x 0, y 0) + 0 [ (x 0+ x, y 0+ y) – (x 0, y 0)]= = [ f(x 0+ x, y 0+ y) + 0 ( x 0+ x, y 0+ y)] – [f(x 0, y 0) + 0 (x 0, y 0)]. f(M 0) = x, y. F(x 0, y 0, 0) Таким образом, приращение функции f(M 0) с учетом уравнения связи (x, y) = 0 совпадает с приращением функции 2 -х переменных F (x, y, 0) = f(x, y) + 0 (x, y).

Для функции 2 -х переменных справедлива ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие условного экстремума функции 2 -х переменных). Пусть M 0(x 0, y 0) – критическая точка для условного экстремума функции z = f(x, y) и в некоторой окрестности точки M 0(x 0, y 0) функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим Тогда: 1) если > 0 , то в точке M 0 – условный минимум ; 2) если < 0 , то в точке M 0 – условный максимум ; 3) если = 0 , то никакого заключения о критической точке M 0(x 0, y 0) сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.

Обобщая полученные результаты на функцию n переменных получим следующие результаты. ТЕОРЕМА 2 (необходимые условия условного экстремума функции n переменных). Если функция u = f(x 1, x 2 , …, xn) в точке M 0(x 01, x 02 , …, x 0 n) имеет условный экстремум, то M 0 является стационарной точкой функции F (x 1, x 2 , …, xn, 1, … m) = f(M) + 1 1(M) + … + m m(M), где 1(M) = 0 , … m(M) = 0 – уравнения связи. Наличие в критической точке M 0 экстремума определяют по знаку приращения функции n переменных F(M 0, 01, … 0 m) где 01, …, 0 m – фиксированные значения множителей Лагранжа, соответствующие точке M 0.