Математический анализ Пределы Бесконечно малые и бесконечно большие

Математический анализ Пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Содержание n Предел функции, свойства пределов n Основные теоремы о пределах n Замечательные пределы n Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 2

Предел функции n Пусть y=f(x) - числовая функция, заданная на множестве X ⊂ R. n Точка xo называется предельной точкой множества X, если любая δ-окрестность точки xo содержит точку множества X, не равную xo. n Отметим, что сама точка xo может не принадлежать множеству X. xo- δ © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» xo xo+ δ 3

Предел функции n Число A называется пределом функции в точке xo, если для любого ε>0 найдётся δ>0, такое, что из неравенства │x−xo│< δ следует неравенство │f(x)−A│< ε для любых x из области определения функции. n Обозначения: или f(x) A при x xo © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 4

Предел функции n Если xo=∞, то предел функции при x ∞ существует, если найдётся число S>0 такое, что │f(x)−A│< ε для всех x>S. n Обозначение: © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 5

Замечание n Определение предела не требует существования функции в самой точке xo, а определяется поведением функции в окрестности этой точки. n К примеру, функция x 2/x не определена при x=0, но предел при x 0 существует и равен 0. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 6

Вопрос на засыпку Имеют ли предельные точки, и если да, то какие, множества 1. {5; 7; 9; 11}. 2. {an=1/n, n∈N}. 3. [1; 5]. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» Решение. 1. Множество {5; 7; 9; 11} не имеет предельных точек. 2. Множество {an=1/n, n∈N} иеет одну предельную точку xo =0. 3. Все точки множества [1; 5] являются предельными. 7

Вопрос на засыпку Найти пределы числовых функций: 1. lim f(x)=x 2. x 2 2. lim f(x)=(x 3)2/(x 2). x 0 3. lim f(x)=(x 3)2/(x 2). x 2 © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» Решение. 1. lim x 2=4. x 2 2. lim (x 3)2/(x 2)=9. x 0 3. lim f(x)=(x 3)2/(x 2)=∞. x 2 8

Односторонние пределы 1. 2. Предел слева, если при стремлении x к xo переменная x принимает значения, меньшие xo. Обозначение: Предел справа, если при стремлении x к xo переменная x принимает значения, большие xo. Обозначение: © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 9

Вопрос на засыпку Найти пределы слева и справа функции при x 0. Решение. 1. lim f(x)= 3. x 0 2. lim f(x)=0. x 0+ © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 10

Свойства пределов Пусть f(x) и g(x) - функции, для которых существуют пределы: lim f(x)=A и lim g(x)=B x xo а) тогда б) в) © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» x xo г) если и 11

Вопрос на засыпку Найти предел числовой функции © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» Решение. 12

Вопрос на засыпку Найти предел числовой функции © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» Решение. 13

Вопрос на засыпку Найти предел числовой функции © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» Решение. 14

Основные теоремы о пределах n Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела при x xo. n Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки xo f (x)<g (x), то © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 15

Основные теоремы о пределах n Теорема 3. Пусть числовые функции φ(x), ψ(x) и f(x) определены в некоторой окрестности точки xo и удовлетворяют следующим условиям: φ(x)≤f(x) ≤ψ(x); ; n Тогда © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 16

Замечательные пределы n Теорема 1 (первый замечательный предел). или n Теорема 2 (второй замечательный предел). или © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 17

Вопрос на засыпку Пример. Найти пределы числовых функций: © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые

Бесконечно малые и бесконечно большие функции n Функция α(x) называется бесконечно малой при x xo, если. n Функция β(x) называется бесконечно большой при x xo, если. n Обозначим б. м. ф. – бесконечно малые и б. б. ф. – бесконечно большие функции. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 19

Примеры Например, функция f(x)=x/(x 2) является бесконечно малой функцией при x 0, и бесконечно большой функцией при x 2. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 20

Теорема (о связи между б. м. ф. и б. б. ф. ) 1. Если α(x)→ 0 при x→xo, то β(x)=1/α(x)→∞ при x→xo. К примеру, α(x)=(x 2)2 → 0 при x→ 2, β(x)=1/(x 2)2 →∞ при x→ 2. Если β(x) → ∞ при x→xo, то α(x)=1/β(x) → 0 при x→xo © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 21

Свойства б. м. ф. и б. б. ф. 1. Сумма и произведение конечного числа б. м. ф. 2. 3. 4. 5. тоже б. м. ф. Произведение б. м. ф. на ограниченную функцию тоже бесконечно малая функция. Сумма б. б. ф. и ограниченной функции тоже б. б. ф. Сумма конечного числа б. б. ф. одинакового знака тоже б. б. ф. Произведение б. б. ф. на функцию, предел которой отличен от нуля, тоже б. б. ф. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 22

Вопрос на засыпку Пример. Найти пределы числовых функций: Решение. не существует. так как в числителе стоит ограниченная функция, а в знаменателе б. б. ф. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 23

Сравнение бесконечно малых величин n Пусть α 1(x) и α 2(x) - бесконечно малые при x→xo, тогда если 0, то α 1(x) б. м. ф. высшего порядка, чем α 2(x) 0 ∞, то α 1(x) б. м. ф. низшего порядка, чем α 2(x) const, то α 1(x) и α 2(x) величины одного порядка малости 1, то α 1(x) и α 2(x) эквивалентные величины n Если предел не существует, то α 1(x) и α 2(x) являются несравнимыми величинами. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 24

Вопрос на засыпку Пример. Сравнить функции: (x 1)2 и x 2 3 x+2 при x 1 Решение. Вычислим предел Ответ. Функция (x 1)2 является б. м. ф. по сравнению с x 2 3 x+2 при x 1. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 25