МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Поверхностный интеграл 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Поверхностный интеграл 1 -го рода Рассмотрим гладкую поверхность в трёхмерном пространстве , в каждой точке которой определена непрерывная функция. Произведём разбиение поверхности произвольной сеткой (рис. 1. 1. ). Обозначим элемент разбиения , а его площадь Выберем на произвольную точку , найдём значение и составим интегральную сумму Римана (1. 1. ) Перейдём к пределу в (1. 1. ) при условии, что максимальный диаметр Если такой предел не зависит от способа разбиения поверхности и выбора точки на элементе разбиения, то этот предел называется поверхностным интегралом 1 -го рода от функции по гладкой поверхности , то есть по определению: (ПИН 1) Замечание. Свойства ПИН 1 следуют из его определения: линейность, аддитивность, симметричность относительно любой стороны поверхности. .

Вычисление ПИН 1 1) При параметрическом задании поверхности Согласно формуле площади поверхности (II. 2) (см. пред. лекц. ) имеем. Отсюда где - модуль вектора 2) При явном задании поверхности имеем частный случай (x=u; y=v), тогда (ПИН 1) (двойной интеграл по плоской области)

Ориентация поверхностей Пусть S – гладкая поверхность в пространстве, тогда в её векторном представлении векторная функция непрерывна и Следовательно, в каждой точке поверхности определён единичный нормальный вектор , тогда говорят, что на поверхности S существует непрерывная единичная нормаль. Определение 1). Всякая непрерывная единичная нормаль гладкой поверхности называется ориентацией этой поверхности. Замечание. Существуют две ориентации (противоположные векторы нормали), одну из которых выбирают положительной (обычно нормаль внешней стороны гладкой поверхности), другую – отрицательной. Поверхности, для которых нельзя построить непрерывную единичную нормаль, называются неориентируемыми. Пример: лист Мёбиуса.

Ориентация кусочно-гладких поверхностей Заметим, что согласно Определению 1), кусочно-гладкая поверхность не является ориентируемой (т. к. на границе соседних кусков можно построить множество нормалей, то функция нормали терпит разрыв). Поэтому для ориентации кусочно-гладких поверхностей используют другой подход. Сначала ориентируем гладкую поверхность S ориентацией её кусочно гладкого края Г. Такую ориентацию определяют по правилу правого винта: положительная ориентация поверхности внешней нормалью соответствует обходу края поверхности против часовой стрелки, если смотреть со стороны внешней нормали Рассмотрим кусочно-гладкую поверхность; границу между кусками назовём линией склеивания. Определения. 2) Ориентации кусков поверхности называются согласованными, если они порождают на линии склеивания противоположные ориентации. 3) Кусочно-гладкая поверхность называется ориентируемой, если существуют согласованные ориентации любых соседних кусков, составляющих поверхность. Замечание. Ориентируемые поверхности называют двусторонними, неориентируемые – односторонними.

Поверхностный интеграл 2 -го рода Пусть S - ориентированная поверхность в пространстве, в каждой точке которой задана векторная функция - единичная внешняя нормаль к поверхности S. Определение. Поверхностным интегралом 2 -го рода от функции по ориентированной поверхности S называется интеграл: (ПИН 2) (ПИН 1) Замечание. Раскрывая скалярное произведение векторов в правой части, получим интеграл в координатной форме (ПИН 2).