Скачать презентацию МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Формула Гаусса-Остроградского Теорема Скачать презентацию МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Формула Гаусса-Остроградского Теорема

Матан_л42.ppt

  • Количество слайдов: 5

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Формула Гаусса-Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Формула Гаусса-Остроградского

Теорема ( формула Гаусса - Остроградского ) Пусть V - односвязная замкнутая область с Теорема ( формула Гаусса - Остроградского ) Пусть V - односвязная замкнутая область с кусочно-гладкой поверхностью S в пространстве R 3 ; функции определены на V+S и имеют в области определения непрерывные частные производные. Тогда (Г-О) Доказательство. Рассмотрим область V следующего вида (рис. 1), с кусочно-гладкой границей при этом где Аналогичное представление область имеет при проецировании на плоскости OXZ, OYZ (Назовём такую область элементарной. ) Ориентируем область внешней нормалью: рис. 1 Dxy

Имеем: перейдём к поверхностным интегралам по границам области S с учетом направления внешней нормали Имеем: перейдём к поверхностным интегралам по границам области S с учетом направления внешней нормали на поверхностях S 2 ; S 1 ; S 0 (на S 2 Рис. 1 Dxy Итак: , на S 1 ; на S 0 ) (1)

Формула Гаусса – Остроградского (окончание доказательства) Аналогично, производя проецирование рассмотренной области на координатные плоскости Формула Гаусса – Остроградского (окончание доказательства) Аналогично, производя проецирование рассмотренной области на координатные плоскости OYZ и OXZ, получим равенства (2) (3) Суммируя левые и правые части равенств (1), (2), (3), получим формулу (Г-О). Для элементарной области теорема доказана. Замечание. Если область имеет более сложную форму, то её можно разбить на элементарные области. В каждой элементарной области интегралы по внутренним смежным поверхностям-границам в сумме равны нулю (т. к. их внешние нормали противоположно направлены), поэтому поверхностный интеграл по внешней границе сложной области также вычисляется по формуле (Г-О). Таким образом, в условиях теоремы эта формула верна для любой замкнутой области. Доказано.

Формула Стокса Теорема Стокса. Пусть S - гладкая поверхность в пространстве, ориентированная внешней нормалью Формула Стокса Теорема Стокса. Пусть S - гладкая поверхность в пространстве, ориентированная внешней нормалью , опирающаяся на кусочно-гладкий замкнутый контур Г, ориентация которого согласована с ориентацией поверхности S по правилу правого винта, Пусть в области G определены и и непрерывны вместе со своими частными производными функции Тогда Г (КРИН 2) (ПИН 1) (без доказательства) Замечание. Раскрывая определитель в правой части, получим формулу Стокса в координатной форме Г (КРИН 2) (ПИН 2).