Математический анализ Определение Переменной величиной называется всякая величина

Математический анализ Определение. Переменной величиной называется всякая величина, принимающая различные значения в данной задаче. Определение. Переменную , принимающую некоторый ряд значений , расположенных в порядке возрастания номеров, будем называть последовательностью и обозначать. Примеры последовательностей арифметическая последовательность геометрическая последовательность Последовательность считается заданной, если задан общий член последовательности !!! абсолютная величина вещественного числа

Окрестность точки Предел последовательности Определение 1. Число называется пределом последовательности , если для любого найдется такой номер , что начиная с этого номера, т. е. для , выполняется условие сходится к Определение 2. Число называется пределом последовательности если начиная с некоторого номера все члены последовательности оказываются в - окрестности точки ,

Определение. Последовательность , имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной Определение. Последовательность , имеющая своим пределом бесконечность , называется бесконечно большой величиной Определение. Последовательность расходящейся , не имеющая предела , называется - сходящаяся последовательность, бесконечно малая - сходящаяся последовательность, бесконечно большая - расходящаяся последовательность, ПРЕДЕЛА НЕТ !!!

Теорема о сходящихся последовательностях Теорема (о сжатой переменой). Если для вариант всегда выполняются неравенства , причем варианты стремятся к общему пределу : , то и варианта имеет тот же предел: Пример (теорема о сжатой переменной)

Монотонные последовательности Последовательность возрастающей, если Последовательность называется монотонно убывающей, если Все типы последовательностей, изменяющиеся в одном направлении, объединяются под одним названием монотонных последовательностей Теорема (фундаментальная). Пусть дана монотонно возрастающая последовательность. Если она ограничена сверху то она необходимо имеет конечный предел, в противном же случае она стремится к. Теорема (фундаментальная). Пусть дана монотонно убывающая последовательность. Если она ограничена снизу то она необходимо имеет конечный предел, в противном же случае она стремится к.

Пример Последовательность убывает Последовательность ограничена снизу По теореме: последовательность имеет предел Первый замечательный предел

Экономический смысл числа e 1& начальный капитал инвестиционный процент – 100% в год Процент начисляется равными долями два раза в год Процент начисляется равными долями три раза в год Процент начисляется равными долями n раз в год

Число e может быть интерпретировано как значение капитала, до которого растёт начальный единичный капитал, если инвестиционный процент составляет 100% в год и начисление проводится непрерывно равными долями

Арифметические операции над последовательностями Если последовательности пределы имеют конечные , то Сумма (разность) имеет конечный предел Произведение имеет конечный предел Разность имеет конечный предел В случае, когда принимают значение одно из , то могут получаться неопределённости вида Раскрытие неопределённостей. Пример