Математический анализ Множество — это совокупность объектов

Математический анализ

Множество - это совокупность объектов определенной природы Элементы множества -составляющие его объекты Если даны два непустых множества и , то закон, ставящий в соответствие каждому элементу только один элемент , называют функцией одной переменной: - аргумент функции, - значение функции, - область определения функции, - область значения функции. Пример. Найти область определения функции

Способы задания функции одной переменной 1. табличный 2. графический 3. аналитический (с помощью формул) а) явный б) неявный в) параметрический

Элементарные функции это: явные алгебраические и трансцендентные функции, а также полученные из них арифметическими действиями и суперпозицией Явные алгебраические функции: их значения получаются в результате конечного числа действий над аргументом: - целая рациональная - дробно-рациональная - иррациональная Трансцендентные: - постоянная

- степенная - показательная - тригонометрические и обратные тригонометрические Примеры элементарных функций: Примеры неэлементарных функций:

Четные функции: Y X O Нечетные функции: Y O X

Функция с областью определения называется периодической, если существует такое число , что: - и - выполняется равенство - среди всех чисел есть наименьшее, называемое периодом функции Пример. но среди Т нет наименьшего, следовательно функция не является периодической Функцию называют ограниченной, если существует такое , что Пример. -ограничена снизу

Сложная функция Функция , аргументом которой является функция называется сложной функцией независимой переменной Пример. -сложная

Числовая последовательность Если каждому числу n из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел называется числовой последовательностью: Числовая последовательность называется ограниченной, если все ее члены по абсолютной величине не превосходят некоторой положительной постоянной: Числовая последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого числа существует такой номер , что при всех имеет место неравенство

Постоянное число называется пределом последовательности , если последовательность есть бесконечно малая последовательность Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся Теорема. Сходящаяся последовательность ограничена Числовая последовательность называется монотонно возрастающей, если каждый ее последующий член не меньше предыдущего Теорема. Если числовая последовательность монотонно возрастает (или убывает) и ограничена, то она сходится, т. е. имеет конечный предел

Число е Теорема. Числовая последовательность при неограниченном возрастании n имеет предел, заключенный между 2 и 3. Доказательство. По формуле бинома Ньютона:

-ограниченная Ограниченная и возрастающая последовательность имеет предел Числом e называется предел числовой последовательности при неограниченном возрастании

Предел функции -окрестностью точки называется множество точек , расстояние от которых до точки меньше чем Если для любого наперед заданного положительного числа можно указать такое положительное число , что из условия следует , то число A называется пределом функции в точке Если А-число , предел называется конечным, если то бесконечным

-левосторонний предел -правосторонний предел Лево- и правосторонний пределы в точке называются односторонними пределами функции в этой точке Правило предельного перехода Пример.

Теоремы о пределах функций Теорема . Если при функция стремится к конечному пределу, то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена Теорема . Если при функция стремится к конечному пределу, то этот предел единственный Теорема. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки и в ней: тогда

Теорема. Если при функции и стремятся к конечным пределам, то в этой точке справедливы следующие равенства:

Бесконечно большие и бесконечно малые функции Функция называется бесконечно малой в точке , если Теорема. Для того, чтобы функция в точке имела своим пределом число А , необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой в этой точке Доказательство. ч. т. д.

Теорема. Бесконечно малыми функциями при являются: - алгебраическая сумма и произведение конечного числа БМФ -произведение БМФ на ограниченную функцию - частное от деления БМФ на функцию, предел которой не равен нулю Функция называется бесконечно большой в точке , если Теорема (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций). Если функция бесконечно малая в точке и в некоторой окрестности этой точки то функция - является бесконечно большой в точке и наоборот

Доказательство. -неограниченная ч. т. д.

Примеры.