Математический анализ Лекция -1 1 Введение 2

Математический анализ Лекция -1 1

Введение 2 ● Математика зародилась в глубокой древности и в наше время проникла во многие сферы человеческий деятельности. Математические методы давно и успешно используются в таких точных науках как механика, физика, астрономия и находят широкое применение в технике. ● Со второй половины XX века приложения математики начали интенсивно внедряться в химию, биологию, медицину, психологию, лингвистику, социологию и другие гуманитарные науки. Стали привычными неожиданные, на первый взгляд, сочетания слов “математическая экономика”, “математическая биология”, “математическая лингвистика”. Поэтому деятельность современного инженера немыслима без прочного и всестороннего союза с математикой. 2

Введение ● 3 В чем суть математики (инженерной математики) ? В общих математики чертах суть инженерной математики проявляется в ее практических приложениях. Например, для конкретно изучаемого физического объекта или явления строят абстрактный геометрический образ и/или определенное логическое соотношение и далее подбирают готовую математическую модель в виде уравнений и формул, затем средствами математического аппарата анализируют ее. ● Результаты анализа проверяют сопоставлением с реальностью и в случае расхождения уточняют модель или создают новую. В то же время математическое моделирование позволяет рассчитывать параметры реальных объектов и делать открытия. Например, в астрономии: Леверье в 1846 г. открыл – предсказал – планету Нептун по рассчитанным отклонениям планеты Уран. Аналогично в 1930 г. открыли Плутон. 3 .

Введение ● 4 Одни и те же математические модели находят различные приложения. Так закон взаимодействия двух электрических зарядов и закон притяжения двух масс выражаются формулами с одинаковой структурой. Также с одной и той же математической моделью можно изучать течение жидкости, распространение теплоты, распределение электрического потенциала, распространение какой-либо примеси в воздухе или эпидемии в регионе. Благодаря общности математических моделей возникает “родство” между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие. Такая общность и универсальность математических моделей выражена фразой: “Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем”. 4

Введение ● 5 Есть две крайние точки зрения, как эффективно осваивать математику, связанные с двумя основными аспектами этой науки. Так, в процессе становления математика накапливала разрозненные факты и обобщала их в виде все более полных теорий, двигаясь по индукции (inductio - наведение) от частного к общему. Но уже сформировавшиеся разделы математики строят по дедукции (deductio - выведение), начиная с общих понятий и положений и строгого логически выводя из них следствия. 5

Раздел 2 6 Логическая символика Умение логически мыслить – логика – является основным инструментом процесса математического анализа. Логика в математике – наука о способах доказательств и опровержений; – совокупность научных теорий с доказательствами и опровержениями Формальная или символическая логика – это специальный метод познания, формирующий структуру нашего мышления. Выстраивая цепь логических рассуждений мы оперируем определенными высказываниями (из них и состоит речь). В этом случае высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, что оно истинно или ложно. Пример: выражения “Москва – столица России”, “Петров И. И. – Пример студент МГТУ” или выражение типа – высказывания истинное иди ложное; выражение 2 < 1/2 – ложное высказывание; а выражение – не является высказыванием 6

Раздел 2 Соединяя простые высказывания словами “и”, “или”, “не”, “если. . . , то …”, получаем более сложные понятия, определяющие нашу речь. В математике эти слова называют логическими связками, в логике они соответствуют основным логическим символам: 7 • 1. Конъюкцией высказываний относительно p и q называют высказывание, которое истинно только тогда, когда оба высказывания ( и p , и q ) истинны. Логический символ конъюкции заменяет союз “и” • 2. Дизъюкцией высказываний относительно p и q называют высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда оба высказывания ( и p , и q ) ложны, а истинно, когда хотя бы одно из них ( p или q ) истинно. Логический символ дизъюкции заменит союз “или”. 7

Продолжение 8 3. Импликацией (следование) высказываний относительно p и q называют высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда p истинно, а q – ложно. Логический символ импликацией используют при указании на последствия некоторого факта. Он заменит словосочетание “если. . . , то …” или “ p влечет q “. 4. Символ эквиваленции означает, что высказывание истинно только тогда, когда оба высказывания p и q истинны или оба высказывания ложны. Этот символ заменяется термином “равносильно”. 5. Отрицание высказыванием p называют высказывание p, которое истинно, если p ложно, и ложно, когда p истинно. Логический символ отрицания используют при указании на последствия некоторого факта; оно заменяет слово “ не ”. 8

Продолжение 9 Для сокращения и уточнения записей высказываний вводятся знаки: – квантор общности (логический эквивалент слов “все”, “каждый” ); – квантор существования (логический эквивалент слова “некоторый”, , – символы принадлежности или непринадлежности : например, выражение “для всякого элемента x множества Е ” записывается в виде ; выражение “существует по крайней мере один элемент множества Е , такой что … ” записывается как. . А – символ отрицания высказывания А 9

Раздел 3 10 Обычно мн-во задается с указанием какого-либо его свойства Р(х) : Пусть Р некоторое свойство, которым обладают или нет элементы мн-ва Х : • запись означает, что все элементы из мн-а Х обладают свойством Р. • запись означает, что на множестве Х существует элемент, обладающий свойством Р. Отрицание высказывания : построим отрицание утверждения – Аналогично, Пример: 10

Раздел 4 11 Теорема Логические символы и кванторы существования и общности широко используются в математике при записи предложений, выражающих наши мысли, представляющих собой свойства математических объектов. Однако следует отметить, что часть предложений приходится выражать словами. К ним относятся такие понятия как теорема. В общем случае любая теорема состоит в задании некоторого свойства А , называемого условием, из которого выводят свойство В , называемого заключением. В отличие от теоремы аксиома – утверждение, истинность которого принимается (в основном, на основе практики). 11

Раздел 4 Теоремы и их доказательства 12 Теорема – утверждение, в истинности которого убеждаются с помощью доказательства. Всякая теорема представляет собой высказывание вида А В А – условие теоремы, В – заключение теоремы, т. е. теорема – это импликация (А и В тесно связаны). Доказательство теоремы обычно проводится по логической цепочке вида : А С 1 С 2 С 3 …. . Сi …. Сn В Теорема В А называется обратной к теореме А В ; если она верна, то А В. Теоремы: 1. А В - прямая ; 2. В А - обратная к 1. ; 3. А В - противоположная к 1. ; 4. В А - обратная к противоположной. 12 Тогда 1. 4. ; 2. 3.

Раздел 4 Доказательство : • например, ( А В ) В А На практике полагают, что В не верно и доказывают, что А не верно. Основу доказательства составляет. закон исключенного третьего например, А В или А В и третьего не дано. Поэтому, если В А , то А В А неверно; остается только А В. • Пример 1. Пусть m – целое число. Докажем теорему: ( – четно) ( m – четно). Доказательство от противного : пусть m – нечетно, т. е. (m четно) m = 2 n + 1 ( • четно). Пример 2. Никакое рациональное число p = m / n , где m, n – целые и хотя бы одно из них нечетно не является корнем уравнения = 2. Доказательство от противного : пусть = / = 2. Тогда = 2 четно m четно = 2 делится на 4 четно m четно – это противоречие с условием теоремы. 13

Раздел 4 14 • Таким образом любая теорема состоит в задании некоторого свойства А , называемого условием, из которого выводят свойство В , называемого заключением т. е. теорема А влечет В и записывают в виде А В В этом случае А является достаточным условием для В, а В - необходимым условием для А. Тогда обратная теорема имеет вид В А. Отметим, что утверждение прямой теоремы еще не гарантирует справедливости обратной ей теоремы. Если справедливы данная теорема и обратная ей, то А и В эквивалентны, т. е. А В. 14

Раздел 4 15 Метод математической индукции • пример: , , …, , Применяется при док-ве утверждений для произвольного натурального числа n : утверждение считается истинным для любого натурального n , если а. верно при n = 1; в. из того, что верно при n = k следует, что верно при n = k + 1 • пример : неравенство Бернулли 1 + nx , x > – 1 , n – любое натуральное число. a. при n = 1 (1 + x) 1 + x истинно b. предположим, что неравенство верно при n = k , т. е. 1 + kx > 0 (умножим обе части) (1 + kx)(1 + х) = 1 + х + kx + . 1 + (k + 1)x - что и требовалось доказать 15

Раздел 5 16 • Некоторые обозначения символов : Запись суммирования , слагаемые – буквы с индексами; i – индекс суммирования • Основные свойства символа (сигма): = = + = 16

Раздел 5 Некоторые формулы комбинаторики : • Факториал, , 0! = 1 • число сочетаний из n по k – число всех сочетаний из n по k • Бином Ньютона = (x + y) Из каждой скобки справа выбирается либо х, либо у , элементы перемножаются. Затем произведения, отвечающие всем различным способам такого выбора складываются. Число произведений • , соответствующих выбору k элементов y из n скобок равно Поскольку k = 0, 1, …. , n , 17

Раздел 6 Множество • Понятие множество принадлежит к числу основных математических понятий. Однако оно строго не определено, но может быть пояснено на примерах: • множество учащихся одного выпуска, множество всех книг, составляющих данную библиотеку, множество всех точек данной отрезка прямой, множество всех решений данного уравнения и т. д. 18 • Множество будем обозначать заглавными буквами А, B , C, …, X, Y, Z , а их элементы – прописными a , b , c , …, x , y , z ; x является элементом множества Е обозначают x Е. Запись x Е означает, что x не принадлежит множеству Е Два множества и называют равными = , если они состоят из одних и тех же элементов. Множество можно задавать перечислением элементов: А = {1, 2, 3, 5}. 18

Раздел 6 19 • Обычно множество задается указанием свойства Р(х) : Например, • Если (х А) (х B) , то А называют подмножеством множества B : А B или B А ( , - знаки включения) • (А = B ) (А B ) (B А ) - пустое множество А - не содержит ни одного элемента 19

Раздел 6 20 Операции над множествами А Δ B – симметрическая разность множеств – это множество элементов, принадлежащих или только A, или только B , но не обоим множествам одновременно, например • Семейство множеств 20

Раздел 6 21

Раздел 6 22 22

Раздел 6 23 23

Раздел 7 24 24

Раздел 7 25 25

Раздел 7 26

Раздел 7 27 27

Раздел 7 28 28

Раздел 7 29 29

Раздел 8 Функции 30 30

Раздел 8 31

32 Раздел 8 32

33 Раздел 8 33

34 Раздел 9 34

Раздел 10 35 35

Раздел 10 Тригонометрические ф-ии не являются взаимно-однозначными Для определения обратных им ф-ий необходимо из области их определения на множестве Х выделить подмножество Х 1 Х, где они являются взаимно-однозначными, как ф-ии из Х 1 в : • • Х 1 Х 1 = [- /2; /2] = [ 0; ] = (- /2; /2) = ( 0; ) - y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x Функции arcsin x , arccos x определены на отрезке [-1, 1] , а arctg x , arcctg x - на всей числовой прямой. 36