МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Теорема

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теорема ( формула Грина ) Пусть - односвязная область с кусочно-гладкой границей Г, функции определены на и имеют в области определения непрерывные частные производные. Тогда (I) Доказательство. Рассмотрим область следующего вида (рис. 1), с кусочно-гладкой границей Г, позволяющей задать область двояким образом: (Назовём такую область G элементарной областью. ) рис. 1

Имеем: перейдём к криволинейным интегралам по дугам границы области Рис. 1 Итак: (I. 1)

Формула Грина (продолжение) Аналогично перейдём к криволинейным интегралам по дугам границы области Рис. 1 Отсюда: (I. 2) Складывая равенства (I. 1) и (I. 2), получим формулу Грина (I). Доказано.

Параметрическое задание поверхностей Рассмотрим множество и заданную на этом множестве векторную функцию , значениями которой являются векторы в трёхмерном пространстве. Тогда поверхность S в пространстве можно задать в виде: Определения. 1) Поверхность S вида (II) называется непрерывно дифференцируемой, если функции x, y, z имеют непрерывные частные производные по обеим переменным u; v. 2) Точка поверхности S называется особой точкой, если в ней выполняется условие -векторное произведение частных производных равно нулю. 3) Поверхность S называется гладкой, если она непрерывно дифференцируема и не имеет особых точек. Замечание. В каждой точке гладкой поверхности можно построить касательную плоскость к ней, при этом вектор является нормальным вектором к поверхности.

Площадь поверхности Рассмотрим отображение плоской области E в трёхмерную область, задающее поверхность S вида (II). Произведём разбиение области Е прямоугольной сеткой с шагом h по обоим направлениям. При отображении элементарного квадрата Ei получим элемент поверхности, площадь которого рис. 2. 1. рис. 2. 2. Просуммируем все такие элементарные площади и перейдём к пределу суммы, при условии. Получим где