МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ 1. Замена переменных в двойном интеграле Рассмотрим функцию двух переменных определённую и непрерывную на плоской замкнутой области с кусочно-гладкой границей Г. Произведём разбиение области равномерной прямоугольной сеткой с шагом h (рис. 1). Заметим, что при (площадь области). Перейдём к новым переменным координат вида: с помощью непрерывного преобразования В новых координатах область примет вид , прямоугольная сетка перейдёт в косоугольную (рис. 2); при этом площадь элемента косоугольной сетки будет равна - якобиан преобразования координат, - модуль якобиана. Составим интегральную сумма Римана от функции по элементам разбиения области и сведём к аналогичной сумме по разбиению исходной области. Получим: .

Замена переменных в двойном интеграле (продолжение) Переходя к пределу в равенстве (4. 1) при получим двойной интеграл слева и справа для соответствующей области: где - якобиан преобразования координат вида Переход к полярным координатам на плоскости - полярные координаты точки M (x; y);

2. Замена переменных в тройном интеграле Рассуждая аналогично п. 1, рассмотрим функцию 3 -х переменных определённую и непрерывную на трёхмерной замкнутой области с кусочно-гладкой границей Г. Пусть непрерывное преобразование координат имеет вид: По аналогии с формулой (5. 1) получим: где - якобиан преобразования координат вида (6. 1)

Переход к цилиндрическим координатам в пространстве M(r, j, z) z - цилиндрические координаты точки М( x, y, z) z 0 x j r y Тогда Замечание. Цилиндрические координаты (ЦК) используют для областей, вытянутых вдоль одной из осей координат и имеющих круговое сечение. При переходе к ЦК оставляют неизменной ту координату, вдоль которой вытянута область интегрирования.