МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Переход к сферическим

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Переход к сферическим координатам в пространстве - сферические координаты точки М( x, y, z) z M Получим 0 j x По рис. 1 Тогда M¢ y

Элементы векторного анализа Векторная функция, её предел, непрерывность, производная Определения. 1) Векторной функцией числового аргумента называется функция, значениями которой являются векторы. Обозначение: Если область значений – трёхмерное пространство, то можно записать где - орты декартовой прямоугольной системы координат (ДПСК). 2) Вектор называется пределом векторной функции в точке если выполняется равенство: 3) Векторная функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке равен её значению в этой точке: 4) Производной векторной функции в т. называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению её аргумента, при условии, что последнее стремится к нулю, т. е.

Кривая в пространстве; ориентация; длина дуги. Понятие кривой определим, исходя из физического представления о ней, как о траектории движения некоторой материальной точки в трехмерном пространстве. Для такой траектории можно выбрать различные параметры, описывающие положение точки на ней, например, время t, прошедшее с начала движения или длину дуги s пройденного пути. Таким образом, одна и та же кривая может быть задана различными параметрическими уравнениями. Используем следующие описания кривой Г. Определения. 5) Кривая Г называется ориентированной, если для неё определен порядок следования точек при изменении параметра. 6) Кривая Г называется замкнутой, если начальная и конечная точки её траектории совпадают. 7) Точка называется особой точкой кривой Г вида (I), если 8) Кривая Г (I) называется гладкой, если она не имеет особых точек, а числовые функции являются непрерывно дифференцируемыми в области определения.

Теорема 1 ( о длине дуги ) Пусть непрерывно дифференцируемая кривая. Тогда длина дуги , отсчитываемая от начала кривой Г, является непрерывно дифференцируемой функцией, причём (без доказательства) Следствие. Вектор кривой Г; является единичным касательным вектором к т. е. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейный интеграл 1 -го рода (КРИН 1) Пусть Г–гладкая кривая в R 3, в каждой точке которой задана непрерывная функция. Произведём произвольное разбиение кривой на дуги , на каждой такой элементарной дуге длиной выберем произвольную точку и составим интегральную сумму Римана Перейдём к пределу при условии, что

Определение. Если указанный предел не зависит от способа разбиения кривой Г и выбора точки на элементарной дуге, то этот предел называется криволинейным интегралом 1 -го рода от функции по кривой Г, т. е. Свойства КРИН 1 1) 2) Вычисление КРИН 1 По Теореме 1 из (*): Частный случай. Плоская кривая