МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ продолжение

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (продолжение) 2. Тройной интеграл Задача 2. Рассмотрим в трёхмерном пространстве материальное тело объема , в каждой точке которого задана плотность функцией Требуется найти массу тела. Произведём разбиение области на элементарные области пересекающиеся только по своим кусочно-гладким границам. Обозначим объемы областей. В каждой элементарной области выберем произвольную точку имеющую координаты ; плотность материальной точки. Тогда масса элементарного объема будет примерно равна. Значит, масса всего тела: Перейдём к пределу в выражении (2), при условии, что максимальный диаметр области стремится к нулю. Если этот предел не зависит от способа разбиения области и выбора точки , то он называется тройным интегралом от функции по области. Таким образом, по определению

3. n-мерный интеграл Обобщим понятие кратного интеграла на область любой размерности. Пусть - замкнутая область в n-мерном пространстве Rn, в каждой точке которой определена функция Произведём разбиение области на элементарные области , пересекающиеся только по своим кусочно-гладким границам. Обозначим меры областей. В каждой элементарной области выберем произвольную точку и составим интегральную сумму Римана Перейдём к пределу в выражении (3), при условии, что максимальный диаметр элементарной области стремится к нулю. Если этот предел не зависит от способа разбиения области и выбора точки то он называется n- мерным интегралом от функции n переменных по области. Таким образом, по определению

Свойства кратных интегралов Обозначим

Вычисление кратных интегралов 1. Вычисление двойного интеграла Пусть функция определена на множестве. Тогда существует интеграл вида: Замечание. Если функция непрерывна на , то функция F(x) непрерывна на [a ; b], и значит, существует интеграл Этот интеграл вида называется повторным интегралом от функции Справедливо следующее утверждение. Если то (1*) на .

Порядок интегрирования Определение. Область будем называть правильной, если она пересекается любой прямой, параллельной оси координат, только в двух точках. а) Пусть - правильная область по направлению OY. (1 а) рис. 1 а) б) рис. 1 б) - правильная область по направлению OX. (1 б) Замечание. Если область правильная в обоих направлениях, то можно менять порядок интегрирования. Если область не является правильной, то её разрезают на правильные куски, вычисляют интеграл по каждой части и результаты складывают.

2. Вычисление тройного интеграла S 2 : z = Y(x, y) z S 1 : z =Fx, y) ( 0 x Спроецируем область на координатную плоскость XOY. Затем плоскую область проецируем на ось OX. y Dxy Рис. 2 Тогда (2)