Математический анализ Числовые функции Рекомендуемая литература n

Математический анализ Числовые функции

Рекомендуемая литература n Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. - М. : Банки и биржи, ЮНИТИ, 2000. n Ермаков В. Н. Общий курс высшей математики для экономистов. - М. ИНФРА 2003. n Тимошина И. Р. Электронный конспект лекций по математическому анализу. ВФ СПб. ГУСЭ, 2007. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 2

Рекомендуемая литература n http: //mathem. h 1. ru n http: //www. krugosvet. ru/articles /06/1000684 a 1. htm n http: //webmath. exponenta. ru/s/ c/function/content/chapter 1/sec tion 3/paragraph 1/theory. html#u p © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 3

Содержание n История развития теории числовых функций n Основные определения и понятия n Основные свойства числовых функций n Основные элементарные функции © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 4

История развития теории числовых функций n Теория числовых функций начала развиваться в XVII веке, в эпоху научной революции и становления механистической картины мира. n Происходит осмысление понятия непрерывный процесс в связи с необходимостью описывать движения тел и их скорости. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 5

История развития теории числовых функций o Термин «функция» (от латинского functio совершение, выполнение) ввёл немецкий математик Готфрид Лейбниц. http: //www. krugosvet. ru/articles/08/1000866/0012356 g. htm © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 6

История развития теории числовых функций n Английский учёный Исаак Ньютон понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. http: //www. krugosvet. ru/articles/117/1011701 a 1. htm © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 7

Числовые функции в экономическом анализе n В экономической теории используются различные модели числовых функций: функции спроса и предложения; производственные функции; функции полезности; функции, отражающие зависимость рисков от тех или иных факторов и т. д. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 8

Основные определения и понятия n Пусть X и Y – числовые множества. n Числовая функция f - это правило, по которому x X ставят в соответствие одно число y Y. Значение аргумента х Значение функции y Правило f © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 9

Основные определения и понятия n Множество X называется областью определения числовой функции, элемент x X называется аргументом функции, n Множество Y- областью значений функции, элемент y Y называется значением функции. n Числовую функцию можно задать аналитически, таблично, графически, словесно. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 10

Основные определения и понятия n Графиком функции f(x) называют множество Г={(x, y) X Y| y=f(x)} y 0 x График функции одной переменной – это множество точек на плоскости. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 11

Основные определения и понятия При аналитическом задании числовую функцию можно задать: n в явном виде: y=f(x); n в неявном виде: F(x, y)=0. Примеры. 1. y=x 2+3 – явное задание функции; 2. y−x 2− 3=0 – неявное задание функции; 3. x 2 y +3 xy 3− 5 – неявное задание функции. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 12

Основные свойства числовых функций 1. Чётность, нечётность 2. Монотонность 3. Ограниченность 4. Периодичность © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 13

Чётность, нечётность f(x)-четная f(-x)=f(x) для x X. График четной функции симметричен относительно оси Оy. f(x)-нечетная f(-x)=-f(x) для x X. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 14

Монотонность f(x)-монотонно возрастает, если для любых допустимых чисел х1f(x 2) © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 15

Ограниченность Функция f(x) называется ограниченной, если существует число M такое, что │f(x)│≤M для x X. f(x) ограничена снизу, если f(x)≥M для x X. f(x) ограничена сверху, если f(x)≤M для x X. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 16

Периодичность Функция f(x) называется периодической с периодом Т, если для x X f(x+Т)= f(x). Заметим, что если Т период функции то число n. Т тоже является периодом этой функции, если n Z. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 17

Вопрос на засыпку n Описать основные свойства функций, изображённых на графиках n Решение. Функция на рис. а) чётная, немонотонная, ограниченная снизу, непериодическая. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 18

Сложная функция. n Пусть X, U, Y - числовые множества, на которых заданы функции: u=g(x); y=f(u). Объединив эти функции, получим: y=f(g(x)); Такое правило называется сложной функцией (суперпозицией функций, функцией от функции). u U х X Правило g y Y Правило f n К примеру, пусть u=sinx, y=lnu, тогда y= ln (sinx) сложная функция. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 19

Обратная функция n Пусть числовая функция y =f(x) отображает множество X на множество Y. n Предположим, что каждому значению y соответствует единственный аргумент x. n Обратная функция f -1 - это правило, с помощью которого, задав любое значение функции у Y можно найти аргумент x X, такой, что y =f(x). © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 20

Взаимно однозначные функции Не является взаимно Взаимно однозначная однозначной Обратную функцию можно построить только для взаимно однозначной функции или в той части области определения, в которой функция взаимно однозначная!! © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 21

Вопрос на засыпку n Определите к каким из приведённых на графиках функций можно построить обратные во всей области определения. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 22

Вопрос на засыпку Пример. Найти функцию, обратную к функции y=5 x. Решение. x= y. Другими словами, для функции y=5 x обратная функция задаётся правилом «бери любое число и умножай его на. Если аргумент этой функции обозначать как x, а значение как y, то эта же самая функция примет вид: y= x. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 23

Свойства обратных функций 1. Графики обратных функций симметричны относительно прямой линии l: y= x. 2. f -1(f(x)) = x y=x 3. f ( (f -1 y)) = y © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» y=5 x y=0. 2 x 24

Основные элементарные функции 1. Степенные y=xα 2. Показательные y=ax 3. Логарифмические y=logax 4. Тригонометрические: sin x, cos x, tg x, ctg x; 5. Обратные тригонометрические: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 25

Степенные функции у=xα n y=xn, n - чётное n - нечётное параметр α=n, n N X=(-∞, 0)⋃(0, ∞) n y=x-n=1/xn, параметр α= n, n N X=(-∞, 0)⋃(0, ∞) n y=x 1/ n= , n Z параметр α=1/n, X=(0, ∞), если n чётное X=(-∞, ∞), n нечётное © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 26

Показательные функции y=ax ny=ax , a>0, a≠ 1 a>1 a<1 X=(-∞, ∞) Основные свойства: 1. ни чётная, ни нечётная; 2. монотонная; 3. ограниченная снизу; 4. непериодическая. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 27

Логарифмические функции y=logax n y=logax , a>0, a≠ 1 a>1 a<1 X=(0, ∞) Основные свойства: 1. ни чётная, ни нечётная; 2. монотонная; 3. ограниченная снизу; 4. непериодическая. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 28

Тригонометрические функции sin x, cos x, tg x, ctg x © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 29

Замечание n Тригонометрические функции не являются взаимно однозначными! n Поэтому для них невозможно построить обратные во всей области определения! n Обратные функции строят только на интервалах монотонности: для sin x [ /2; /2 ]; для cos x [0; ]; для tg x ( /2; /2); для ctg x (0; ). n Это области главных значений обратных тригонометрических функций. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 30

Обратные тригонометрические функции © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 31

Вопрос на засыпку Пример. Найти и построить функцию, обратную к y=x 3. Решение. Разрешим y=x 3: x=. Обозначим: x независимую переменную, y значение функции, получим: y= © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» y=x 3 y=x y=3√x 32

Вопрос на засыпку Пример. Найти и построить функцию, обратную к y=x 2 Решение. 1. Функция y=x 2 не является взаимно однозначной, поэтому в области оределения этой функции построить обратную нельзя. 2. Построим обратную функцию для x∈[0, ∞), тогда x=. Обозначим x независимую переменную, y значение функции, получим: y=. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» y=x 2 y=x y=√x 33

Вопрос на засыпку Пример. Найти и построить функцию, обратную к показательной функции y=2 x Решение. Разрешим y=2 x относительно x: x=log 2 y. Обозначим: x независимую переменную, y значение функции, получим: y= log 2 x. Заметим, что обратной к показательной функции является логарифмическая. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» y=2 x y= log 2 x 34

Вопрос на засыпку Пример. Найти и построить функцию, обратную к тригонометрической функции y=sin x y= arcsin x Решение. 1. Функция y=sin x не является y=sin x взаимно однозначной, поэтому в области оределения этой функции построить обратную нельзя. 2. Построим обратную функцию для x∈ [ /2; /2 ]; тогда x= arcsin y. Обозначим x независимую переменную, y значение функции, получим: y= arcsin x. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 35

Замечания n Обратные к степенным функциям тоже степенные функции. n Обратные к показательным функциям логарифмические функции. n Обратные к тригонометрическим функциям обратные тригонометрические функции. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 36

Основное n Определение числовой функции и её свойства и график. n Сложная функция. n Обратная функция. n Основные элементарные функции, их свойства и графики. © И. Р. Тимошина «Множества. Числовые функции» 37