МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 8 -я лекция ПРОИЗВОДНАЯ ПО

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 8 -я лекция

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Пусть функция z=f(x, y) определена в некоторой окрестности точки М 0(x 0; y 0). Направление задаётся вектором: Приращение функции в данном направлении:

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Определение Производной функции z=f(x, y) по направлению l называется предел отношения приращения функции в этом направлении Δl z к величине перемещения Δl при его стремлении к нулю.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Величина перемещения, длина вектора: Направляющие косинусы:

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Теорема Если функция z=f(x, y) дифференцируема в точке М 0(x 0; y 0), то производная по направлению l {cosα; cosβ} в этой точке определяется формулой:

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Замечание Если направление l задано вектором l {a, b} то производная по этому направлению может быть вычислена по формуле:

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Физический смысл Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в этом направлении.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Пример1 Найти скорость изменения данной функции в точке P(1; -1) по направлению к точке Q(4; 3).

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Решение Вычислим частные производные и их значение в точке Р(1; -1):

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Решение Вычислим координаты вектора PQ , длину вектора и направляющие косинусы:

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Решение Применим формулу вычисления производной по направлению:

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Определение Градиентом функции z=f(x, y) в точке М 0(x 0; y 0) называется вектор, координаты которого являются значениями частных производных этой функции в данной точке.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Пример Найти наибольшую скорость изменения данной функции в точке P(1; -1)

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Решение Вычислим частные производные и их значение в точке Р(1; -1):

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Решение Вычислим частные производные и их значение в точке Р(1; -1):

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Проверка Вычислим скорость изменения функции по направлению градиента:

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Физический смысл Градиент показывает направление максимальной скорости изменения функции от данной точки. Модуль градиента – максимальная скорость изменения функции от данной точки. Градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Пример Построить градиент в точке Р(0; 0) и линию уровня, проходящую через точку Р(0; 0) для данной функции.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Пример

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Пример y 2 х -1 0 Р 2 2 x+y=0

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Пример Построить градиент в точке Q(1; 3) и линию уровня, проходящую через точку Q(1; 3) для данной функции.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Пример

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ Пример y 3 0 Q 1 х 2 x+y=5