Скачать презентацию Математический анализ 1 Высшая математика Практикум ч Скачать презентацию Математический анализ 1 Высшая математика Практикум ч

1.Введение.Предел функции..ppt

  • Количество слайдов: 57

Математический анализ Математический анализ

1. Высшая математика. Практикум ч. 2. Шуман Г. И. , Волгина О. А. , 1. Высшая математика. Практикум ч. 2. Шуман Г. И. , Волгина О. А. , Голодная Н. Ю. , Одияко Н. Н. 2. Высшая математика. Практикум ч. 3. Шуман Г. И. , Волгина О. А. 3. Высшая математика. Практикум ч. 4. Шуман Г. И. , Волгина О. А. 4. Ряды. Учебно-практическое пособие. Дубинина Л. Я. , Никулина Л. С. , Пивоварова И. В.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной (производная). 1. Задача, приводящая к понятию производной. 2. Определение Дифференциальное исчисление функции одной переменной (производная). 1. Задача, приводящая к понятию производной. 2. Определение производной. 3. Геометрический смысл производной. 4. Основные правила дифференцирования. 5. Производные основных элементарных функций.

Введение в анализ Введение в анализ

• Функцией называется правило, по которому каждому элементу некоторого множества элемент М соответствует • Функцией называется правило, по которому каждому элементу некоторого множества элемент М соответствует единственный другого множества N. - независимая переменная (аргумент); - зависимая переменная; М - область определения функции; N - множество значений функции.

• Графиком функции наз. множество точек плоскости , для каждой из которых абсцисса • Графиком функции наз. множество точек плоскости , для каждой из которых абсцисса является значением аргумента, а ордината - соответствующее значение данной функции.

Способы задания функции: 1) аналитический; 2) табличный; 3) графический. Способы задания функции: 1) аналитический; 2) табличный; 3) графический.

Основные элементарные функции Основные элементарные функции

Постоянная Степенная Показательная . Постоянная Степенная Показательная .

Логарифмическая Тригонометрические Обратные тригонометрические Логарифмическая Тригонометрические Обратные тригонометрические

• Окрестностью точки числовой прямой называется любой интервал содержащий эту точку ( ). • Окрестностью точки числовой прямой называется любой интервал содержащий эту точку ( ). a Если то b

точки числовой прямой называется интервал , т. е. если то или • , точки числовой прямой называется интервал , т. е. если то или • ,

-произвольное множество. Ограниченное сверху: Ограниченное снизу: Ограниченное: -произвольное множество. Ограниченное сверху: Ограниченное снизу: Ограниченное:

Предел функции Предел функции

• Рассмотрим функцию 2 2, 5 2, 9999 4 5 5, 8 5, • Рассмотрим функцию 2 2, 5 2, 9999 4 5 5, 8 5, 998 5, 9998 4 3, 5 3, 1 3, 001 8 7 6, 2 6, 002

• Функция имеет предел , при , если значения сколь угодно близко приближаются • Функция имеет предел , при , если значения сколь угодно близко приближаются к числу когда значения переменной сколь угодно близко приближаются к числу Число может быть конечным или бесконечным :

Свойства пределов Свойства пределов

Бесконечно малые функции • Функция называется бесконечно малой при , если Бесконечно малые функции • Функция называется бесконечно малой при , если

Бесконечно большие функции • Функция называется бесконечно большой при , если Бесконечно большие функции • Функция называется бесконечно большой при , если

• Теорема. Если бесконечно малая при , то и бесконечно большая при • • Теорема. Если бесконечно малая при , то и бесконечно большая при • Теорема. Если бесконечно большая функция при , то бесконечно малая при

Первый замечательный предел Первый замечательный предел

y A D B C x o x y A D B C x o x

• Докажем, что и • Докажем, что и

Второй замечательный предел Второй замечательный предел

Сравнение бесконечно малых Сравнение бесконечно малых

• Пусть и бесконечно малые функции при : 1) и называются б. м. • Пусть и бесконечно малые функции при : 1) и называются б. м. одного порядка малости при , если существует конечный

2) бесконечно малые и одного порядка малости при называются эквивалентными бесконечно малыми, если 2) бесконечно малые и одного порядка малости при называются эквивалентными бесконечно малыми, если

• При ~ ~ ~ • При ~ ~ ~

3) бесконечно малая называется бесконечно малой более высокого порядка чем бесконечно малая при , 3) бесконечно малая называется бесконечно малой более высокого порядка чем бесконечно малая при , если

4) если не существует конечного то и называются несравнимыми бесконечно малыми при 4) если не существует конечного то и называются несравнимыми бесконечно малыми при

• Теорема. Пусть и бесконечно малые функции при конечно и бесконечно) и существует • Теорема. Пусть и бесконечно малые функции при конечно и бесконечно) и существует , тогда существует (а

Непрерывность функции Непрерывность функции

Непрерывность в точке Непрерывность в точке

• Функция наз. непрерывной в точке , если: 1) функция определена в точке • Функция наз. непрерывной в точке , если: 1) функция определена в точке и некоторой её окрестности; 2) существует 3)

Классификация точек разрыва Классификация точек разрыва

• Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой функции. • • Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой функции. • Точка разрыва функции называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы

• Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, • Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода. • Точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва функции , если

• Пусть функции точке - точка разрыва первого рода. Скачком функции в называется • Пусть функции точке - точка разрыва первого рода. Скачком функции в называется

• Функция называется непрерывной на отрезке , если она определена на этом отрезке, • Функция называется непрерывной на отрезке , если она определена на этом отрезке, непрерывна в каждой точке интервала , а на концах отрезка непрерывна соответственно слева и справа, т. е.

Свойства функций непрерывных на отрезке Свойства функций непрерывных на отрезке

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. 2. Пусть функция непрерывна на Тогда для любого числа , заключенного между и , найдется точка , такая, что

3. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, 3. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует по крайне мере одна точка, в которой значение функции равно нулю.

• Пусть дана функция. Рассмотрим два значения её аргумента: Исходное и новое. Разность • Пусть дана функция. Рассмотрим два значения её аргумента: Исходное и новое. Разность наз. приращением аргумента в точке и обозначим :

• Разность приращением функции в точке наз. : • Разность приращением функции в точке наз. :

• Функция наз. непрерывной в точке. если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно • Функция наз. непрерывной в точке. если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.