МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 СЕМЕСТР Математический анализ 1 семестр

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1 СЕМЕСТР Математический анализ, 1 семестр

Множества 1. 1. Введение. Понятие множества Официальное признание теории множеств прозвучало на Первом международном математическом конгрессе (Цюрих, 1897 г. ), где Адамар и Гурвиц указали на важные применения этой теории к анализу. Большое значение в распространении идей теории множеств принадлежит Гильберту. Именно он сказал: “Никто не сможет нас изгнать из рая, созданного Кантором”. Что же такое множество по Г. Кантору? Множество по Кантору – это любое собрание определенных и различных между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Математический анализ, 1 семестр

Множества КАНТОР, ГЕОРГ ФЕРДИНАНД ЛЮДВИГ ФИЛИПП (Родился: 3 марта 1845 в Санкт-Петербурге, Россия. Умер: 6 января 1918 в Галле, Германия) Математический анализ, 1 семестр

Множества ГЕДЕЛЬ, КУРТ (Родился 28 апреля 1906 в Брно. Умер в Принстоне 14 января 1978) Математический анализ, 1 семестр

Множества Интуитивный принцип объемности Г. Кантора (1 аксиома Геделя): множества А и В считаются равными (А = В), если они состоят из одних и тех же элементов. А = {1, 2}, B = {{1}, 2}. – пустое множество, т. е. множество не имеющее ни одного элемента (наличие такого множества предполагается второй аксиомой Геделя); N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество всех рациональных чисел; R – множество всех действительных чисел. Добавление к упомянутым множествам знака “+” выделяет из них только положительные числа, например, Z+ – множество целых положительных чисел. Математический анализ, 1 семестр

Множества А = {x: P(x)}. A = {x: x 2 + x + 1 > x} Интуитивный принцип абстракции Г. Кантора: любая форма Р(х) определяет некоторое множество А посредством условия, согласно которому элементами множества А являются в точности такие объекты а, что Р(а) есть истинное высказывание. Парадокс Б. Рассела (1902 г. ). Множество А обладает свойством D, если для него верно А А. Введем теперь множество Т = {А: А удовлетворяет свойству D}. Парадокс брадобрея {x A: P(x)}. Математический анализ, 1 семестр

Множества 1. 2. Включение множеств. Операции над множествами Определение 1. 1. Говорят, что множество А включено в множество В (и пишут А В или В А), если для любого элемента а А справедливо а В. Например, очевидны следующие включения N Z Q R. Свойства: 1) для любого множества А справедливо включение А А; 2) если А В и В А, то А = В; 3) если А В и В С, то А С; 4) для любого множества А справедливо включение А. символ принадлежности и символ включения . Операция “объединение множеств”. Пусть А и В два множества. Объединением этих множеств называется множество А В, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В: А В = {x: х А либо х В}. Математический анализ, 1 семестр

Множества Операция “разность множеств”. Для множеств А и В разность множеств А – В состоит из тех и только тех элементов х, которые удовлетворяют следующим двум условиям х А и х В: А – В = {х: х А и х В}. Операция “пересечение множеств”. Для множеств А и В их пересечением А В называется множество таких элементов х, которые принадлежат как А, так и В: А В = {х: х А и х В}. Операция “симметрическая разность множеств”. Для множеств А и В их симметрической разностью называется множество А В = (А – В) (В – А). I А = {х: I: х А }, I А = {х: I: х А }. Математический анализ, 1 семестр

Диаграммы Венна Рис. 1. Заштриховано дополнительное множество к множеству А Рис. 2. Заштриховано Рис. 3. Заштриховано пересечение множеств А объединение множеств и. В Аи. В Математический анализ, 1 семестр Множества

Множества Теорема 1. 1. Для любых множеств A, B, C, D справедливы равенства: 1. A (B C) = (A B) C 1'. A (B C) = (A B) C 2. A B = B A 2'. A B = B A 3. A (B C) = (A B) (A C) 3'. A (B C) = (A B) (A C) 4. А А = А 4'. А А = А 5. A = A, A D = D (при условии A D) 5'. A = , A D = A (при условии A D) 6. A (D – A) = D 6'. A (D – A) = Математический анализ, 1 семестр

Множества Законы де Моргана. Теорема 1. 2. Справедливы равенства: (А В)С = АС ВС и (А В)С = АС ВС. Задача Льюиса Керролла В одном жестоком бою из 100 пиратов 70 потеряли ногу, 75 – руку, 80 – глаз, 85 – ухо. Доказать, что как минимум 10 человек потеряли и руку, и ногу, и глаз, и ухо. Математический анализ, 1 семестр