Математические приложения в математике Часть 1 Предельные показатели

Математические приложения в математике Часть 1 Предельные показатели в микроэкономике

Предельные показатели в микроэкономике Приведём примеры двух предельных показателей в микроэкономике: 1) Предельная себестоимость 2) Эластичность спроса 2

Предельная себестоимость Приведём примеры 2 предельных показателей в микроэкономике: 1. Первый из них связан с зависимостью себестоимости С произведенной продукции от ее объема Q: C= f(Q). Так называемая предельная себестоимость ΔC прироста продукции ΔQ (1) 3

Предельная себестоимость В предложении о непрерывной зависимости ΔQ от ΔC естественно напрашивается замена разностного отношения в его пределом: (1 а) Обычно в предложениях с использованием аппарата математики по предельной себестоимостью понимают именно величину (1 а). 4

Пример 1 Например, пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции выражается формулой ден. ед. Определим средние и предельные издержки при объеме продукции Q=15 ден. ед. 5

Пример 2 А) Функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле или в нашем случае откуда ден. ед. Б) Предельные издержки определяются, согласно (1 а), по формуле Откуда при Q=15 получаем ден. ед. 6

Пример 3 Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 33, 25 ден. ед дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19, 75 ден. ед. и не превысят средних издержек. 7

Эластичность спроса 2. В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса. Пусть D=f(P) – функция спроса от цены товара Р. Тогда под эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении цены товара на один процент: (2) 8

Предельные показатели в микроэкономике Как и в предыдущем случае, в случае непрерывной зависимости ΔD от ΔQ удобно перейти к пределу при (2 а) 9

Предельные показатели в микроэкономике Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения S(P). Напомним, что функция D(P) убывает а функция S(P) возрастает с ростом цены P. 10

Предельные показатели в микроэкономике Укажем некоторые свойства эластичности. Как следует из формулы (2 а) ее можно выразить так: (2 б) Из равенства (2 б) следует, что E(D) обладает свойствами логарифма, а значит, 11

Предельные показатели в микроэкономике Заметим, что поскольку функция D(P) убывающая, то а тогда согласно формуле (2 а) и E(D)<0. Напротив поскольку функция предложения возрастающая, то соответствующая эластичность E(S)>0. 12

Предельные показатели в микроэкономике Различают три вида спроса в зависимости от величины А) если то спрос эластичный; Б) если то спрос нейтрален; В) если то спрос неэластичный. Рассмотрим 2 примера из этой области. 13

Пример 1 Пусть функция спроса описывается формулой где и k – известные величины. Найти, при каких значениях цены Р спрос будет эластичным. Решение. Согласно формуле (2 а) составляем выражение для E(D): 14

Пример 2 Для того, чтобы спрос был эластичным, необходимо, чтобы выполнялось неравенство: (3) 15

Пример 3 Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса. Решение. Выручка I равна произведению цены P на товар на величину спроса D: I(P)=D(P)P. Найдем производную этой функции: 16

Пример 4 Теперь проанализируем все варианты эластичности спроса, приведенные выше, с учетом формулы (2 а). 1) E(D) < -1; тогда, подставляя (2 а) в это неравенство, получаем, что правая часть уравнения (3) отрицательна. Таким образом, при эластичном спросе повышение цены Р ведет к снижению выручки. Напротив, снижение цены на товар увеличивает выручку. 17

Пример 5 2) E(D) = -1. Из (2 а) следует, что правая часть (3) равна нулю, т. е. при нейтральном спросе изменение цены на товар не влияет на выручку. 3) E(D) > -1. Тогда т. е. при неэластичном спросе повышение цены Р на товар приводит к росту выручки. 18

Пример 6 Пусть зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q ее производства выражается формулой C=50 -0, 4 Q. Требуется определить эластичность себестоимости при выпуске продукции Q=30 ден. ед. 19

Пример 7 Решение. По формуле (2 a) получаем Откуда при Q=30 искомая эластичность составит около -0, 32, т. е. при данном объеме выпуска продукции его увеличение на 1% приведет к снижению себестоимости примерно на 0, 32%. 20