Математические основы шифрования Разделы Ø Арифметика остатков

Математические основы шифрования

Разделы Ø Арифметика остатков Ø Ø Алгоритм Евклида Китайская теорема об остатках Тест Ферма Решето Эратосфена Ø Вероятность Ø Ø Теорема Байеса Парадокс Дней Рождений

Алгоритм Евклида Алгоритм описанный Евклидом в книге «Начала» Используется для нахождения НОД двух чисел, для Евклида важно было то, что с использованием этого алгоритма можно было находить отношения между отрезками По сути основан на последовательном взаимном вычитании двух величин

Алгоритм Евклида(частный пример) Найдём НОД(585, 135) 585 mod 135 = 45 135 mod 45 = 0 НОД(585, 135)=45 Найдём НОД(1877, 1032) 1877 mod 1032 = 845 1032 mod 845 = 187 845 mod 187 = 97 187 mod 97 = 90 97 mod 90 = 7 90 mod 7 = 6 7 mod 6 = 1 6 mod 1=0 НОД(1877, 1032)=1

Алгоритм Евклида(общий случай)

Алгоритм Евклида(общий случай) Найдём НОД(1877, 1032) 1877 = 1032 *1 + 845 1032 = 845 * 1 + 187 845 = 187 * 4 + 97 187 = 97 * 1 + 90 97 = 90 *1 + 7 90 = 7 * 12 + 6 7= 6*1+1 6 = 1*6 + 0 НОД(1877, 1032)=1

Расширенный алгоритм Евклида Позволяет найти НОД(a, b) и такие числа x и y что В частном случае, когда НОД(a, b)=1 этот алгоритм позволяет найти обратный к a элемент по модулю b В случае простого модуля N, в кольце Z/NZ каждый ненулевой элемент обратим и существует только одно решение уравнения

Расширенный алгоритм Евклида(частный случай)

Расширенный алгоритм Евклида(частный случай)

Проверка связи Найти обратный X к указанному по данному модулю 1 2 3 4 5 19*x=1(mod 2423) 48*x=1(mod 2351) 80*x=1(mod 2393) 5*x=1(mod 2879) 97*x=1(mod 2801)

Китайская теорема об остатках В общем случае, если разложение числа n на простые сомножители представляет собой p 1*p 2*. . . *pt, то система уравнений x =ai (mod pi) , где i = 1, 2, . . . , t имеет единственное решение, x, меньшее n. Другими словами, число (меньшее, чем произведение нескольких простых чисел) однозначно определяется своими остатками от деления на эти простые числа.

Китайская теорема об остатках Система уравнений Имеет только одно решение Где

Китайская теорема об остатках(пример) Система уравнений

Китайская теорема об остатках(пример) Решить систему уравнений

Решето Эратосфена Алгоритм нахождения всех простых чисел от 2 до заданного Составляется список чисел от 2 до n Первое число принимается за p Двигаясь по списку шагами по p вычёркивают соответствующие числа После достижения конца списка, полагают p, равным первому не вычеркнутому элементу и возвращаются к предыдущему шагу

Решето Эратосфена

Тест Ферма Вероятностный тест на простоту основанный на малой теореме ферма Вероятность того, что число прошедшее тест ферма простое более 0, 5 Тест ферма может убедить нас в том, что число составное, но не может доказать его простоту

Тест Ферма Порядок мультипликативной группы G=Z/NZ равен , для любого члена a

Тест Ферма Про числа вроде 341 говорят, что они псевдопростые (в смысле Ферма) по основанию 2, следует отметить, что при выборе иного основания тест может дать отрицательный результат, например, если взять в качестве основания 5, то при возведении в 340 степень, получится остаток от деления на 341 отличный от 1. Иногда основание называют свидетелем делимости

Тест Ферма Cуществуют составные числа, относительно которых тест Ферма выдаст ответ правдоподобно простое, для всех взаимно простых с N оснований а. Такие числа называются числами Кармайкла.

Тест Миллера - Рабина Пусть — нечётное число большее 1. Число однозначно представляется в виде , где t нечётно. Целое число , 1

Знать Алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида Формулировку китайской теоремы об остатках Что такое тест Ферма Что такое псевдопростые числа по определённому основанию Что такое числа Кармайкла Что такое решето Эратосфена

Уметь Находить НОД(a, b) Находить элемент a обратный к элементу Z/NZ, такой, что 0>a

Расширенный алгоритм Евклида(частный случай)