Математические основы информатики Единицы представления информации Для

Математические основы информатики Единицы представления информации

Для автоматизации работы с данными унифицируют форму представления данных – применяют кодирование u Кодирование- выражение данных одного типа через данные другого типа. u

u u В более узком смысле под кодированием понимается переход от исходного представления информации, удобного для восприятия человеком, к представлению, удобному для хранения, передачи и обработки. Обратный переход к исходному представлению называется декодированием.

При кодировании информации ставятся следующие цели: u u u 1) удобство физической реализации; 2) удобство восприятия; 3) высокая скорость передачи и обработки; 4) экономичность, т. е. уменьшение избыточности сообщения; 5) надежность, т. е. зашита от случайных искажений; 6) сохранность, т. е. защита от нежелательного доступа к информации.

Кодирование данных двоичным кодом Двоичное кодированиепредставление данных последовательностью двух знаков : 0 и 1. u Двоичные цифры – binary digit – bit (бит) u Один бит выражает два понятия: 0 и 1 (да и нет, черное и белое) u

Единицы измерения данных 1 Мбайт = 1024 Кбайт = 210 байт u 1 Гбайт = 1024 Мбайт = 220 байт u 1 Тбайт = 1024 Гбайт = 230 байт u

Кодирование данных двоичным кодом 00 01 10 11 u 000 001 010 011 100 101 110 111 u Для кодирования целых чисел от 0 255 достаточно иметь 8 разрядов двоичного кода (8 бит) u 0000 = 0 u 0000 0001 = 1 u 1111 = 255 u

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ u u u Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной системы счисления. Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, только они должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ u Система счисления называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Десятичная позиционная система счисления u u основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд имеет вес, равный степени 10. • Например, в записи числа 343. 32 цифра 3 повторена три раза, при этом самая левая цифра 3 означает количество сотен (ее вес равен 102); цифра 3. стоящая перед точкой, означает количество единиц (ее вес равен 100 ), а самая правая цифра 3 — количество десятых долей единицы (ее вес равен 10 -1), так что последовательность цифр 343. 32 представляет собой сокращенную запись выражения : 3 x 102 + 4 x 101+3 x 100 + 3 x 10 -1 + 2 x 10 -2. u Десятичная запись любого числа X в виде последовательности цифр: аnаn-1. . а 1 aоа-1. . . ат. . . основана на представлении этого числа в виде полинома: Х = аn 10 n + аn-110 n-1+. . . +a 1 101+a 0100+a-110 -1+. . . +a-m 10 -m. . . ,

u Число К единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система счисления называется К-ичной. • Например, основанием десятичной системы счисления является число 10; • двоичной — число 2; • троичной — число 3 и т. д. u Для записи произвольного числа в K-ичной системе счисления достаточно иметь К разных цифр аi i=1, . . . K. • Например, в троичной системе счисления любое число может быть выражено посредством цифр 0, 1, 2. Эти цифры служат для обозначения некоторых различных целых чисел, называемых базисными.

Для уменьшения количества вычислений пользуются т. н. схемой Горнера. Она получается поочередным выносом q за скобки: A=(. . . ((an*q+an-1)*q+an-2)*q+. . . )*q+a 1 результат вычисления многочлена будет всегда получен в той системе счисления, в которой будут представлены цифры и основание и по правилам которой будут выполнены операции.

Перевод правильных дробей из одной системы счисления в другую Правильной дробью называется число, равное m/n, где m и n - натуральные числа, причем m

Пример перевода правильной дроби из десятичной в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную СС Двоичная СС (q=2). Переведем число 0. 2310 в двоичное представление с абсолютной точностью. Используем вышеизложенное правило: умножим число 0. 23 на основание целевой СС - 2: 0. 23*2 = 0. 46. Видим, что целая часть получившегося числа равна нулю. Значит и первая цифра двоичной дроби - 0. Записываем ее после запятой - 0. 0. 0. 46 * 2= 0. 92. Следующая цифра двоичной дроби - тоже 0. Записываем ее справа от предыдущей цифры - 0. 00. Далее получаем 0. 92*2=1. 84, а само число - 0. 001. Далее, обнуляем целую часть и снова умножаем: 0. 84*2=1. 68. Продолжаем этот процесс:

Числ о Двоичная дробь 0. 68 0. 0011 0. 36 0. 00111 0. 72 0. 001110 0. 44 0. 0011101 0. 88 0. 00111010 0. 76 0. 001110101 0. 52 0. 0011101011 0. 04 0. 00111010111 0. 08 0. 001110101110 0. 16 0. 0011101011100 0. 32 0. 00111010111000 0. 64 0. 001110101110000 0. 28 0. 0011101011100001 0. 56 0. 00111010111000010 0. 12 0. 001110101110000101 0. 24 0. 0011101011100001010 0. 48 0. 00111010111000010100 0. 96 0. 001110101110000101000

Двоичная арифметика u u Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании К системы счисления.

Сложение-вычитание целых беззнаковых чисел. Сложение двух чисел в q-ичной СС A=anan-1. . . a 0 и B=bnbn-1. . . b 0 выполняется по следующем правилу: сложение начинается с младшего разряда. Начальное значение остатка r 0=0. Каждая цифра результата ci равна сумме остатка r и соответствующих цифр исходных чисел, взятой по модулю q: ci=(ai+bi+ri) mod q (выражение x mod y означает остаток от деления x на y). При этом новое значение остатка становится ri+1=(ai+bi+ri) div q (выражение x div y означает целочисленное деление) и фигурирует в следующем акте сложения i+1 -ой цифры. Очевидно, остаток ri+1 может принимать значения только 0 или 1. 0 получается, если сумма ai+bi+ri является q-ичной цифрой (т. е. ai+bi+ri =q. В этом случае сумма не является q-ичной цифрой, и чтобы получить i-й разряд результата ci, нужно из этой суммы вычесть q. Если количество разрядов числа A больше, чем количество разрядов в B, то число B дополняется слева нулями так, что разрядность чисел совпадала. После этого выполняется сложение по вышеуказанном правилу. Если последний перенос не равен нулю (т. е. перенос rn+1 при сложении последних разрядов), то он записывается в качестве старшего разряда результата. См. пример сложения двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел.

пример сложения двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел Сложим двоичные беззнаковые числа A=11111011 и B=111001 C=A+B. Дополним число B слева нулями так, чтобы разрядность чисел A и B совпадала: B=00111001, и сложим "столбиком". Начнем сложение с младших разрядов: это a 0=1 и b 0=1. Начальное значение остатка равно r 0=0. После сложения младших разрядов в младшей цифре результата получаем c 0 = (a 0+b 0+r 0) mod 2 = 2 mod 2 = 0; при этом следующее значение остатка r 1 = (a 0+b 0+r 0) div 2 = 1. Следующая (первая) цифра результата равна c 1 = (a 1+b 1+r 1) mod 2 = 2 mod 2 = 0, а остаток становится равным r 2 = (a 1+b 1+r 1) div 2 = 1. Дальнейшие вычисления приведены в следующей таблице: i ai bi ri ai+bi+ri ci 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1 2 0 0 1 1 1 3 1 1 0 2 0 4 1 1 1 3 1 5 1 1 1 3 1 6 1 0 1 2 0 7 1 0 1 2 0 8 1 1

Последний перенос r 8 мы записали в качестве старшего разряда результата c 8. Выписываем сумму: C = 100110100. Сложим теперь восьмеричные числа A=34 и B=44. Складывая младшие разряды, получаем (4+4+0) mod 8 = 0 и (4+4+0) div 8 = 1 в остатке. Складываем старшие цифры: (3+4+1) mod 8 = 0 и (3+4+1) div 8 = 1 в остатке. Последний остаток - 1, записываем его в качестве старшей цифры суммы: 34+43 = 100. Аналогично складываем шестнадцатеричные числа, например FE+EF: (E 16+F 16+0) mod 16= (14 + 15) mod 16 = 13 = D 16 (E 16+F 16+0) div 16= (14 + 15) div 16 = 1 (E 16+F 16+1) mod 16= (14 + 15 + 1) mod 16 = 14 = E 16 (E 16+F 16+0) div 16= (14 + 15 + 1) div 16 = 1. Последней цифрой суммы будет 1: FE 16+EF 16 = 1 ED 16.

Кодирование текстовых данных u Двоичных код используют при кодировании текста, когда каждому символу алфавита сопоставляется определенное число.